3. Subespacios vectoriales, Sumas y sumas directas.

 En la entrada anterior trabajamos la idea de espacio vectorial, vimos algunos ejemplos y consideramos resultados básicos de utilidad para comprender ciertos aspectos. 

En esta entrada trabajaremos la idea de subespacio vectorial. Con ésta podremos ampliar nuestro estudio.

Definición. Si \(V_{F}\) es un espacio vectorial sobre un campo \(F\) y \(U\subseteq V\), decimos que \(U\) es un subespacio vectorial de \(V\) si \(U\) es un espacio vectorial con la misma suma vectorial de \(V\) y el mismo producto por escalar de \(V\).

 

En algunas ocaciones también se dice que \(U\) es un subespacio lineal, que significa lo mismo que subespacio vectorial.

No es complicado imaginarse que si pretendemos comprobar que un subconjunto, de un espacio vectorial, es un subespacio vectorial, podemos comprobar si, en ese subconjunto junto con la misma suma y producto por escalar del espacio, cumple todas las propiedades de espacio vectorial, sin embargo la siguiente proposición, demostrada en clase, nos permite ver que hay un camino más sencillo para comprobar esto Recordemos.

Proposición. Sea \(V_{F}\) y \(U\subseteq V\), entonces \(U\) es un subespacio vectorial de \(V\) si y sólo si \(U\) satisface las siguientes condiciones:

a) Si \(u, v\in U\) entonces \(u+v\in U\).

b) Si \(\alpha\in F\) y \(u\in U\) entonces \(\alpha u\in U\).

c) \(0_{V}\in U\).

Ejemplo. Podemos considerar a \(\mathbb{R}^{2}\) como espacio vectorial sobre el campo \(\mathbb{R}\), en este caso:

\(\mathbb{R}^{2}=\lbrace (a, b) \vert a, b\in \mathbb{R}\rbrace\),

luego:

\(\bullet\) \(\lbrace (a, 0) \vert a\in \mathbb{R}\rbrace\) es un subespacio vectorial de \(\mathbb{R}^{2}\).

\(\bullet\) \(\lbrace (a, a)\vert a\in \mathbb{R}\rbrace\) es un subespacio vectorial de \(\mathbb{R}^{2}\).

\(\spadesuit\)

Ejemplo. Si \(F\) es un campo y \(\beta\in F\) entonces:

\(\lbrace (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})\in F^{4}\vert x_{2}=5x_{3}+\beta\rbrace\) es un subespacio vectorial de \(F^{4}\) si y sólo si \(\beta=0\).

\(\spadesuit\)

Ejemplo. Sabemos que \(\mathbb{R}^{[0, 1]}\), el conjunto de todas las funciones de \([0, 1]\) en \(\mathbb{R}\) junto con la suma habitual de funciones y el producto por escalar, es un espacio vectorial, en este caso si:

\(C^{[0, 1]}\) denota al subconjunto de \(\mathbb{R}^{[0, 1]}\) de las funciones continuas de \([0, 1]\) en \(\mathbb{R}\) entonces, éste, es un subespacio, de \(\mathbb{R}^{[0, 1]}\), junto con la suma habitual de funciones y el producto por escalar.

\(\spadesuit\)

Ejemplo. Uno de los ejemplos básicos, de subespacios vectoriales, es el siguiente: Si \(V_{F}\) es un espacio vectorial sobre un campo \(F\) entonces \(V\) y \(\lbrace 0_{V}\) son subespacios obvios de \(V\). A \(V\) visto como subespacio de \(V\) se le suele llamar subespacio vectorial impropio y a \(\lbrace 0_{V}\lbrace\) se le suele llamar subespacio vectorial trivial de \(V\).

\(\spadesuit\)

Ejemplos importantes de subespacios vectoriales son relativos a la unión y la intersección de subespacios vectoriales. Veamos.

Ejemplo. Sea \(V_{F}\) y \(\mathcal{F}=\lbrace W\subseteq V\vert W\) es subespacio de \(V\) \(\rbrace\) entonces \(\Omega= \cap_{W\in \mathcal{F}}\) es un subespacio de \(V\). Para comprobar esto debemos considerar tres aspectos, como ya vimos.

1. \(\Omega\) debe ser cerrado bajo suma vectorial.

Si \(u, v\in \Omega\) entonces \(u, v\in W\) para todo \(W\in \mathcal{F}\), luego 

\(u+v\in W\) para todo \(W\in \mathcal{F}\), es decir que \(u+v\in \Omega\).

2. \(\Omega\) debe ser cerrado bajo multiplicación por escalar.

Si \(u\in \Omega\) entonces \(u\in W\) para todo \(W\in \mathcal{F}\) y si \(\alpha\in F\), entonces

\(\alpha u\in W\) para todo \(W\in \mathcal{F}\), luego: \(\alpha u\in \Omega\).

3. \(\Omega\) debe tener a \(0_{V}\).

Se tiene que \(0_{V}\in W\) para todo \(W\mathcal{F}\) es decir \(0_{V}\in \Omega\).

Entonces podemos concluir que \(\Omega\) es subespacio vectorial (por una proposición anterior que ya demostramos) de \(V\).

\(\spadesuit\)

En general, en el caso de la unión, esto no es cierto, es decir que si tenemos dos o más subespacios vectoriales de un espacio vectorial entonces no necesariamente su unión volvera a ser un subespacio vectorial del espacio vectorial original.

Ejemplo. Consideremos \(\mathbb{R}^{2}\), este conjunto con la suma habitual de vectores y el producto por escalar, es un espacio vectorial. Podemos considerar los conjuntos:

\(\mathbb{R}_{1}=\lbrace (a, 0)\in \mathbb{R}^{2}\vert a\in \mathbb{R}\rbrace\) (el eje x) y

\(\mathbb{R}_{2}=\lbrace (0, b)\in \mathbb{R}^{2}\vert b\in \mathbb{R}\rbrace\) (el eje y),

estos conjuntos resultan ser subespacios vectoriales de \(\mathbb{R}^{2}\) considerados con la misma suma vectorial y el producto escalar definido en \(\mathbb{R}^{2}\), pero por ejemplo:

\((1, 0)\in \mathbb{R}_{1}\), \((0, 1)\in \mathbb{R}_{2}\) y \((1, 0)+(0, 1)= (1, 1)\notin \mathbb{R}_{1}\cup\mathbb{R}_{2}\). 

Luego, vemos que la unión de subespacios vectoriales no necesariamente es un subespacio. Nota que su unión es sólo la cruz que forman los ejes x y y.

\(\spadesuit\)

Sin embargo no todo está perdido a este respecto, pues podremos considerar un nuevo concepto. El de suma y suma directa de subespacios vectoriales.

Sumas y sumas directas de subespacios vectoriales

Definición. Sea \(V_{F}\) y \(V_{1}, ..., V_{n}\) subespacios vectoriales de \(V\), la suma de \(V_{1}, ..., V_{n}\) denotada por 

\(V_{1}+...+V_{n}\) o \(\Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\)

es el conjunto de todas los elementos de la forma:

\(v_{1}+\cdots +v_{n}\) tales que \(v_{i}\in V_{i}\) con \(i\in \lbrace 1, ..., n\rbrace\). Es decir:

\(\Sigma_{i=1}^{n}V_{i}=\lbrace \Sigma_{i=1}^{n}v_{i}\vert v_{i}\in V_{i}\) con \(i=1, ..., n\rbrace\).

Ejemplo. Teniendo en cuenta este concepto resulta que \(\mathbb{R}^{2}=\mathbb{R}_{1}\)+\mathbb{R}_{2}\). Lo cual implica inmediatamente que 

\(\mathbb{R}_{1}+\mathbb{R}_{2}\) es subespacio vectorial de \(\mathbb{R}\).

\(\spadesuit\)

Proposición. Si \(V_{F}\) es un espacio vectorial sobre el campo \(F\) y \(V_{1}, ..., V_{n}\) son subespacios de \(V\) entonces

\(V_{1}+\cdots V_{n}\) 

es el menor subespacio vectorial de \(V\) que contiene a \(V_{1}, ..., V_{n}\).

Demostración:

Primero debemos comprobar que, en efecto, \(\Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\) es un subespacio vectorial de \(V\).

i) Si \(u, v\in \Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\)  entonces:

\(u=v_{1}+\cdots +v_{n}\) y \(u=v'_{1}+\cdots +v'_{n}\), luego:

\(u+v=v_{1}+v'_{1}+\cdots v_{n}+v'_{n}\), donde, \(v_{i}+v'_{i}\in V_{i}\) para todo \(i=1, ..., n\), luego:

\(u+v\in \Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\).

ii) Si \(\alpha\in F\) y \(u\in \Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\) entonces:

\(\alpha u=\alpha(v_{1}+\cdots +v_{n})=\alpha v_{1}+\dots+\alpha v_{n}\in \Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\).

iii) \(0_{V}\in\Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\) pues \(0_{V}=0_{V}+\cdots 0_{V}\) tal que 

\(0_{V}\in V_{1}, ..., 0_{V}\in V_{n}\).

Con esto queda demostrado que \(\Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\) es subespacio vectorial de \(V\).

Para comprobar que es el menor subespacio vectorial de \(V\) que contiene a \(V_{1}, ..., V_{n}\) debemos probar dos cosas, en primer lugar que contiene a todos los \(V_{i}'s\) y en segundo lugar que si existe otro subespacio vectorial, de \(V\), que contenga a los \(V_{i}'s\) entonces debe contener a \(\Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\). Veamos.

i) Si \(u\in V_{1}\) entonces podemos considerar:

\(u=v_{1}+0_{V}+\cdots +0_{V}\), luego \(u\in \Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\), es decir que

\(V_{1}\in \Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\), así nos podemos ir hasta n.

Si \(u\in V_{n}\) entonces podemos considerar:

\(u=0_{V}+0_{V}+\cdots+v_{n}\), luego \(u\in \Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\), es decir que

\(V_{n}\in \Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\). Luego:

\(V_{1}\in \Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\), ..., \(V_{n}\in \Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\), es decir que \(\Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\)  contiene a todos los \(V_{i}'s\).

Supongamos, ahora que existe un subespacio vectorial de \(V\), llamado \(W\) tal que:

\(V_{1}\in W\), ..., \(V_{n}\in W\) entonces:

si \(u\in \Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\) se tiene que:

\(u=v_{1}+\cdots+v_{n}\), puesto que \(V_{1}\in W\), ..., \(V_{n}\in W\) entonces:

\(v_{1}+\cdots+v_{n}\in W\), luego \(u\in \Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\). Es decir que:

\(\Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\subseteq W\).

\(\spadesuit\) 

En álgebra lineal se tiene que la suma de subespacios es el análogo a las uniones de subconjuntos en la teoría de conjuntos.

Dados dos subespacios de un espacio vectorial, el subespacio más pequeño que los contiene es justamente la suma. Análogamente, en teoría de conjuntos, si tenemos dos subconjuntos de un conjunto el menor subconjunto que los contiene es su unión.

Sumas directas

Ya estudiamos las sumas de subespacios vectoriales de un espacio vectorial, sin embargo centraremos, generalmente, nuestra atención en los casos en los cuales cada vector en \(\Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\)  puede ser representado de manera única. Dado que esto es, en cierto sentido, una situación especial entonces adquirirá el nombre de suma directa.

Definición. Si \(V_{F}\) y \(V_{1}, ..., V_{n}\) son subespacios vectoriales de un espacio vectorial \(V\) entonces:

\(\Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\)  se llama suma directa si cada elementos de \(\Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\) se puede escribir de forma única como la suma:

\(v_{1}+ \cdots+v_{n}\) tal que \(v_{i}\in V_{i}\) con \(i=1, ..., n\).

Si \(V_{1}+\cdots+V_{n}\) es una suma directa de subespacios vectoriales de \(V\) entonces lo denotaremos por:

\(V_{1}\oplus, ...\oplus V_{n}\) o \(\bigoplus_{i=1}^{n}V_{i}\) en vez de sólo \(V_{1}+\cdots+V_{n}\) o \(\Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\).

Ejemplo. Fácilmente podemos ver que:

\(\mathbb{R}_{1}\oplus\mathbb{R}_{2}=\mathbb{R}^{2}\).

\(\spadesuit\)

Ejemplo. Podemos considerar a \(F^{n}\) como espacio vectorial sobre \(F\) si \(V_{i}\) es un subespacio de \(F^{n}\) cuyos elementos tienen cero en todas las coordenadas, excepto en la i-ésima coordenada entonces su suma directa es \(F^{n}\). Veamos.

\(V_{1}=\lbrace (x, 0, ..., 0)\in F^{n}\vert x\in F\rbrace\),

\(V_{2}=\lbrace (0, x, ..., 0)\in F^{n}\vert x\in F\rbrace\),

\(\vdots\)

\(V_{n}=\lbrace (0, 0, ..., x)\in F^{n}\vert x\in F\rbrace\).

Luego:

\(F^{n}=V_{1}\oplus, ..., \oplus V_{n}\).

\(\spadesuit\)

La definición de suma directa nos pide que todo vector se pueda representar de manera única en la suma, el siguiente resultado que veremos nos facilitará un poco el trabajo en lo que sigue.

Proposición. Sea \(V_{F}\) y \(V_{1}, ..., V_{n}\) subespacios vectoriales de \(V\), entonces 

\(V_{1}+\cdots +V_{n}\) es una suma directa si y sólo si la única manera de escribir a \(0_{V}\) como una suma:

\(v_{1}+\cdots+v_{n}\),

es tomando cada \(v_{i}\) igual a \(0_{V}\).

Demostración:

\(\Rightarrow\rfloor\)

Supongamos que \(0_{V}=v_{1}+\cdots +v_{n}\) con \(v_{i}\in V_{i}\), es decir que:

\(0_{V}\in \Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\) pero por hipótesis se tiene que:

\(\Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\) es una suma directa, luego \(0_{V}\) se puede escribir de manera única como:

\(0_{V}+\cdots+0_{V}\), de donde:

\(v_{1}=0_{V}, \cdots, v_{n}=0_{V}\).

\(\Leftarrow\rfloor\)

Consideremos \(v\in \Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\) y supongamos que:

\(v=v_{1}+\cdots+v_{n}\) con \(v_{i}\in V_{i}\), \(i\in \lbrace 1, ..., n\rbrace\)

y que también se tiene que:

\(v=u_{1}+\cdots+u_{n}\) con \(u_{i}\in V_{i}\), \(i\in \lbrace 1, ..., n\rbrace\).

Por otra parte: \(0_{V}=v-v=v_{1}-u_{1}+\cdots+v_{n}-u_{n}\), luego:

\(v_{1}-u_{1}+\cdots+v_{n}-u_{n}=0_{V}\), como por hipótesis \(0_{V}\) se puede escribir de manera única como:

\(w_{1}+\cdots+w_{n}\) donde \(w_{i}=0\) para todo \(i\in lbrace 1, ..., n\rbrace\), entonces:

\(v_{1}-u_{1}=0_{V}, \cdots v_{n}-u_{n}=0_{V}\), de donde:

\(v_{1}=u_{1}\), ..., \(v_{n}=u_{n}\) para todo \(i\in \lbrace 1, ..., n\rbrace\) y así hemos comprobado que \(v\in\Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\) se escribe de manera única. Luego:

\(\Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\)

 

es una suma directa.

\(\blacksquare\)

Por último veremos un resultado que nos permitira, en la mayoría de casos de manera un poco más práctica, determinar cuando dos subespacios, de un espacio vectorial, son una suma directa. Veamos.

Proposición.  Sea \(V_{F}\) y \(U, W\) subespacios vectoriales de \(V\), entonces: 

\(U+ W\) es una suma directa si y sólo si \(U\cap W=\lbrace 0_{V}\rbrace\).

Demostración:

\(\Rightarrow\rfloor\)

Puesto que \(U\) y \(W\) son subespacios de \(V\) entonces ambos tienen a \(0_{V}\), luego, es fácil ver que:

\(\lbrace 0_{V}\rbrace\subseteq U\cap W\).

Para ver la otra contención consideremos \(v\in U\cap W\), entonces \(v\in U\) y \(v\in W\). Por otro lado: 

\(-v\in W\),

luego notemos que \(0_{V}=v+(-v)\), con \(v\in U\) y \(-v\in W\), pero por hipótesis \(U+W\) es una suma directa, entonces como tendríamos que \(0_{V}\in U+W\) (porque \(v\in U\) y \(-v\in W\)) y \(0_{V}\) se escribe de manera única, luego:

\(v=0_{V}\), por lo tanto \(v\in \lbrace 0_{V}\rbrace\), entonces: \(U\cap W\subseteq \lbrace 0_{V}\rbrace\).  De esta manera tenemos la igualdad:

\(U\cap W=\lbrace 0_{V}\rbrace\).

\(\Leftarrow\rfloor\)

Consideremos \(u\in U\) y \(w\in W\) de tal manera que:

\(u+w=0_{V}\), entonces: \(u=-w\), como \(-w\in W\) se tiene que:

\(u\in W\), por lo que \(u\in U\cap W=\lbrace 0_{V}\rbrace\) es decir que: \(u=0_{V}\) y por lo tanto \(w=0_{V}\), por lo que \(0_{V}\) se puede escribir de manera única como suma de ceros. Por la proposición anterior esto implica que:

\(U+V\) es una suma directa.

\(\blacksquare\)

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Ejercicios.

1. Demuestra que si \(V_{F}\) es un espacio vectorial sobre un campo \(F\), \(U\) y \(W\) subespacios de \(V\) entonces \(U\cup W\) es un subespacio vectorial de \(V\) si y sólo si  \(U\subseteq W\) o \(W\subseteq U\).

 

2.1 Espacios vectoriales: Definición e idea central

 Bien sabemos o puede que no nos sea complicado observar que la motivación para la definición de espacio vectorial está basada en las propiedades de suma y multiplicación escalar que vimos en \(F^{n}\). Formalizaremos ideas.

Definición. Si \(V\) es un conjunto, definimos, una suma \(+\) en \(V\), como una función:

\(+:V\times V\rightarrow V\)

de tal manera que \(+\) asigna el elemento \(u+v\in V\) para cada pareja \(u, v\in V\).

Definimos una multiplicación \(\cdot\) en \(V\) como una función:

\(\cdot:F\times V\rightarrow V\)

 de tal manera que \(\cdot\) asigna el elemento \(\lambda\cdot v\in V\) (aunque escribiremos simplemente \(\lambda v\) ) para cada \(\lambda\in F\) y cada \(v\in V\).

De manera común a la suma en \(V\) le llamamos suma vectorial y a la multiplicación en \(V\) le llamamos multiplicación por escalar.

En base a la definición que acabamos de dar podemos dar la de espacio vectorial.

Espacio Vectorial 

Definición. Un espacio vectorial \(V\), sobre un campo \(F\), es un conjunto junto con una suma vectorial en \(V\) y una multiplicacion por escalar en \(V\) tal que dichas operaciones cumplen las siguientes propiedades.

Conmutatividad

Para todo \(u,v\in V\) \(u+v=v+u\).

Asociatividad

Para todo \(u, v, w\in V\) y para todo \(\alpha, \beta\in F\) \((u+v)+w=u+(v+w)\) y \((\alpha \beta)v=\alpha(\beta v)\).

Identidad aditiva

Para todo \(v\in V\) existe un elemento \(0_{V}\in V\) tal que \(v+0_{V}=0_{V}+v=v\).

Inverso aditivo

Para todo \(v\in V\) existe \(w\in V\) tal que \(v+w=0_{V}\).

Identidad multiplicativa

\(1v=v1=v\) para todo \(v\in V\).

Propiedades distributivas

Para todo \(u, v\in V\) y para todo \(\alpha, \beta\in F\) se tiene que:

\(\alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v\) y \((\alpha +\beta)v=\alpha v+\beta v\)

A los elementos de \(V\) se les llamará vectores no importando de los objetos matemáticos de que se trate. Pueden ser funciones, polinomios, matrices, etc. El nombre de vector adquirirá entonces mayor generalidad y no se usará solamente para los vectores que conocemos de la geometría analítica (o de la física por ejemplo). Siempre hay que tener en cuenta que la multiplicación por escalar depende del campo \(F\) considerado. 

Un espacio vectorial sobre el campo \(\mathbb{R}\) en ocaciones se hace referencia, a él, diciendo que es un espacio vectorial real y un espacio vectorial sobre el campo \(\mathbb{C}\) en ocaciones se hace, referncia, a él, como espacio vectorial complejo.

 

Notemos que \(F^{n}\), junto con la suma y el producto habitual en \(F\) es un espacio vectorial sobre \(F\).

Ejemplo. Si \(A\) es un conjunto distitnto del vacío y \(F\) es un campo, entonces \(F^{A}\) (\(F^{A}\) representa al conjunto de todas las funciones de A) junto con la suma y el producto, habitual de escalar por función, es un espacio vectorial. Veamos.

Conmutatividad

Si \(f, g\in F^{A}\) entonces \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x)\), la conmutatividad es válida porque \(f(x), g(x)\in F\).

Asociatividad

Si \(f, g, h\in F^{A}\) y \(\alpha, \beta\in F\) entonces:

 \(((f+g)+h)(x)=(f+g)(x)+h(x)=f(x)+g(x)+h(x)=\)

\(f(x)+(g(x)+h(x))=f(x)+(g+h)(x)=(f+(g+h))(x)\) y

\(((\alpha\beta)f)(x)=(\alpha\beta)f(x)=\alpha\beta f(x)=\alpha(\beta f(x)\).

Identidad aditiva

Si \(f\in F^{A}\), tenemos que existe la función \(0_{F^{A}}:A\rightarrow F\) definida por:

\(0_{F^{A}}(x)=0\) para todo \(x\in A\). Luego:

.

\((f+0_{F^{A}})(x)=f(x)+0_{F^{A}}(x)=f(x)+0=f(x)\).

Inverso aditivo

Si \(f\in F^{A}\) podemos considerar la función \(-f:A\rightarrow F\) definida por:

\(((-f)(x)=-f(x)\)

para todo \(x\in A\), luego:

\((f+(-f))(x)=f(x)+(-f)(x)=f(x)-f(x)=0=0_{F^{A}}(x)\).

Identidad multiplicativa

Si \(f\in F^{A}\) entonces:

\((1f)(x)=1f(x)=f(x)\).

Propiedades distributivas

Si \(f, g\in F^{A}\) y \(\alpha,\beta\in F\) entonces:

\(((\alpha)(f+g))(x)=(\alpha)(f+g)(x)=(\alpha) (f(x)+g(x))=\alpha f(x)+\alpha g(x)=(\alpha f+\alpha g)(x)\)

y 

\(((\alpha+\beta)(f))(x)=(\alpha+\beta)f(x)=\alpha f(x)+\beta f(x)=(\alpha f+\beta f)(x)\).

Entonces \(F^{A}\) junto con la suma de funciones y el producto por escalar es un espacio vectorial, es un buen ejemplo para comenzar.

\(\spadesuit\)

En un espacio vectorial se requiere que haya una identidad aditiva (bajo la suma vectorial) es un ejercicio sencillo comprobar que esta es única. Se deja como ejercicio al final de esta entrada.

Debido a el resultado que hemos mencionado es que se acostumbra denotar a el vector cero  como \(0_{V}\), sin embargo en algunos textos no se tiene ese cuidado y se espera que el(la) estudiante reconozca éste mediante el contexto.

De manera similar se puede comprobar que el inverso aditivo también es único, análogamente se deja como ejercicio.

Debido a este resultado, es decir que los inversos son únicos, es que hace sentido que denotemos como:

\(-v\) al inverso aditivo de \(v\) y \(w-v\) se define como \(w+(-v)\).

Una proposición que aclara ciertos aspectos sobre el escalar cero y el vector cero, es la siguiente:

Proposición. Sea \(V_{F}\) entonces:

\(0v=0_{V}\).

Demostración:

Consideremos \(v\in V\) entonces:

\(0v=(0+0)v=0v+0v\), luego:

\(0v=0v+0v\), entonces: 

\(0v+(-0v)=0v+(0v+(-0v))\), por lo tanto:

\(0_{V}=0v+(0_{V})\), de donde:

\(0_{V}=0v\).

\(\blacksquare\)

En el resultado que acabamos de ver, comprobamos que si se multiplica cualquier vector por el escalar cero entonces obtenemos el vector cero, sin embargo también podemos considerar qué pasa si multiplicamos cualquier escalar por el vector cero, es justo de lo que trata la siguiente proposición.

Proposición. Sea \(V_{F}\) y \(\alpha \in F\) entonces:

\(\alpha 0_{V}=0_{V}\).

Demostración:

Si \(\alpha\in F\) tenemos que:

\(\alpha 0_{V}=\alpha (0_{V}+0_{V})=\alpha 0_{V}+\alpha 0_{V}\), luego:

\(\alpha 0_{V}+(-a0_{V}=\alpha 0_{V}+\alpha 0_{V}+(-\alpha 0_{V})=\alpha 0_{V}\), entonces:

\(0_{V}=\alpha 0_{V}\).

Que es lo que queríamos.

\(\blacksquare\)

Por último podemos considerar el siguiente resultado.

Proposición. Sea \(V_{F}\), \(-1\in F\) y \(v\in V\), entonces:

\((-1)v=-v\).

Demostración:

Consideremos \(v\in V\), entonces:

\(v+(-1)v=1v+(-1)v=(1+(-1))v=0v=0_{V}\),

luego,

\(v+(-1)v=0_{V}\), 

es decir que \((-1)v\) es inverso aditivo de \(v\), pero sabemos que el inverso aditivo, de un vector, es único según una proposición anterior, luego:

\((-1)v=-v\).

\(\blacksquare\)

\(\clubsuit\)

Ejericicios

1. Sea \(V_{F}\), demuestra que la identidad y el inverso en \(V\), bajo la suma vectorial, son únicos.

2. Considera a \(E\) un conjunto distinto del vacío y \(V_{F}\) un espacio vectorial sobre el campo \(F\). Toma a \(V^{E}\), determina una suma vectorial y una multiplicación por escalar luego demuestra que este conjunto junto con esa suma y producto, es un espacio vectorial.

3. Considera a \(V_{F}\) y \(F^{V}\) el conjunto de todas las funciones que van de el espacio vectorial al campo \(F\). Los elementos de este conjnto se llaman formas lineales de V. Demuestra que este conjunto junto con la suma habitual, que definimos para las funciones y el producto por escalar, es un espacio vectorial.

4. La complexificación de un espacio vectorial. Consideremos \(V_{F}\), denotaremos por \(V_{C}\) a la complexificación de \(V\). En este caso un elemento de \(V_{C}\) es un par ordenado \((u, v)\in V_{F}\times V_{F}\) y reescribiremos esto como \(u+vi\). 

Definiremos la suma en \(V_{C}\) como:

\((u_{1}+iv_{1})+(u_{2}+iv_{2})=(u_{1}+u_{2})+i(v_{1}+v_{2})\)

con \(u_{1}, v_{1}, u_{2}, v_{2}\in V\).

Definiremos la multiplicación en \(V_{C}\) como:

\((a+bi)(c+di)=(ac-bd)+i(ad+bc)\)

con \(a, b\in \mathbb{R}\) y \(u, v\in V\).

Demuestra que, con estas definiciones, \(V_{C}\) es un espacio vectorial complejo.

5. Demuestra que si \(V\) es un espacio vectorial sobre un campo \(F\) y \(u, v, w\in V\) tales que:

\(u+w=v+w\) entonces \(u=v\).

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2. Espacios vectoriales: Ideas preliminares

En el álgebra lineal se suele hacer referencia a campos arbitrarios, sin embargo no perdemos riqueza, en la teoría, si trabajamos pensando en el campo de los números reales \(\mathbb{R}\) y en el campo de los números complejos \(\mathbb{C}\), así que cuando hablemos de un campo \(F\) en particular estaremos pensando en cualesquiera de estos dos campos. Salvo que se mencione lo contrario, en ocaciones, puede que también consideremos el campo con dos elementos \(\mathbb{F}_{2}\) que, en su momento, diremos quién es o como está constituido.

Es conveniente que recordemos el campo de los números reales \(\mathbb{R}\) y sus propiedes. 

Si \(\mathbb{R}\) es el conjunto de los números reales y \(a, b, c\in \mathbb{R}\) entonces:
1. (Ley asociativa para la suma) a+(b+c)=(a+b)+c.
2. (Existencia de una identidad para la suma) a+0=0+a=a.
3. (Existencia de inversos para la suma) a+(-a)=(-a)+a=0.
4. (Ley conmutativa para la suma) a+b=b+a.
5. (Ley asociativa para la multiplicación) \(a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\).
6. (Existencia de una identidad para la multiplicación) \(a\cdot 1=1\cdot a=a; 1\neq 0\).
7. (Existencia de inversos para la multiplicación) \(a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=1\), para \(a\neq 0\).
8. (Ley conmutativa para la multiplicación) \(a\cdot b=b\cdot a\).
9. (Ley distributiva) \(a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\).
Luego si \(P\) es el subconjunto de \(\mathbb{R}\) de todos los números positivos, tenemos tres propiedades adicionales:
10. (Ley de tricotomía) Si \(a\in \mathbb{R}\) se cumple uno y sólo uno de los siguientes incisos:
(i) \(a=0\).
(ii) \(a\in P\)
(iii) \(-a\in P\).
11. (La suma es cerrada) Si \(a, b\in P\) entonces \(a+b\in P\).
12. (La multiplicación es cerrada) Si \(a, b\in P\) entonces \(a\cdot b\in P\). Luego se complementan con las siguientes definiciones:
\(a < b\) si y sólo si \(a-b\in P\);
\(a < b\) si y sólo si \(b>a\);
\(a ≥ b\) si y sólo si \(a>b\) o \(a=b\);
\(a\leq b\) si y sólo si \(a < b\) o \(a=b\).

El campo de los números complejos, por otra parte, tienen que ver con el hecho de que la raíz de -1 simplemente no tiene sentido en el campo de los números reales. Asumiendo que \(\sqrt{-1}=i\) que obedece a las reglas habituales del álgebra.

Definición:
\(\bullet\) Un número complejo es una pareja ordenada (a, b), donde \(a,b\in \mathbb{R}\) y también solemos escribirlo como: \(a+bi\)
\(\bullet\) El conjunto de los números complejos es:
\(\lbrace a+bi\vert a,b\in\mathbb{R}\rbrace\)
\(\bullet\) La suma y la multiplicación en \(\mathbb{C}\) se define como:
\((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\)
\((a+bi)\cdot(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\), donde \(a,b,c,d\in\mathbb{R}\).

Podemos darnos cuenta, rápidamente, que \(\mathbb{R}\) es un subconjunto de \(\mathbb{C}\), pues si consideramos \(a\in \mathbb{R}\) podemos escribir este número como:

\(a+0i\)

el cual claramente pertenece a \(\mathbb{C}\). Aunque uno de los puntos clave es justamente que:

\(\sqrt{-1}=i\), por lo que:

\(i^{2}=-1\).

Si se realizan las operaciones teniendo en cuenta esto, entonces podemos deducir la fórmula del producto como bien sabemos o cualquier otra propiedad relacionada con los números complejos.

Teniendo en cuenta lo que hemos mencionado no es complicado comprobar que la suma y el producto en los números complejos cumplen las siguientes propiedades:

\(\bullet\) (Conmutatividad) Si \(\alpha, \beta\in \mathbb{C}\) entonces:

\(\alpha +\beta=\beta +\alpha\).

\(\bullet\) (Asociatividad) Si \(\alpha, \beta, \lambda\in \mathbb{C}\) entonces:

\((\alpha+\beta)+\lambda=\alpha+(\beta+\lambda)\) y \((\alpha\beta)\lambda=\alpha(\beta\lambda)\).

\(\bullet\) (Identidades) Si \(\lambda\in\mathbb{C}\) entonces:

\(\lambda+0=\lambda\)

\(\bullet\) (Inverso aditivo) Para todo \(\alpha\in \mathbb{C}\) existe un único \(\beta\in\mathbb{C}\) tal que:

\(\alpha+\beta=0\).

\(\bullet\) (Inverso multiplicativo) Para todo \(\alpha\in \mathbb{C}\) con \(\alpha\neq 0\), existe un único \(\beta\in \mathbb{C}\) tal que:

\(\alpha\beta=1\).

\(\bullet\) (Propiedad distributiva) Para todo \(\lambda, alpha, \beta\in \mathbb{C}\) se tiene que:

\(\lambda(\alpha+\beta)=\lambda\alpha+\lambda\beta\).

Estas propiedades se pueden demostrar sólo utilizando las propiedades de los números reales y las definiciones de la suma y multiplicación de los números complejos. En realidad es un ejercicio de rutina que se deja como ejercicio.

El objetivo no es profundizar demaciado en las propiedades de los números complejos o reales. Simplemente es recordar los aspectos importantes para introducirnos en el estudio de los espacios vectoriales. Luego, podemos definir los inversos aditivos y multiplicativos, en los números complejos. Para determinar la substracción y la división con números complejos. Veamos:

Definición (substracción y división en \(\mathbb{C}\)). Consideremos \(\alpha, \beta\in \mathbb{C}\).
\(\bullet\) \(-\alpha\) denota el inverso aditivo de \(\alpha\) y \(-\alpha\) es el únco complejo tal que:
\(\alpha+(-\alpha)=0\).
\(\bullet\) La substracción en \(\mathbb{C}\) está definida por:
\(\beta-\alpha=\beta+(-\alpha)\).
\(\bullet\) Para \(\alpha\neq 0\) tanto \(1/\alpha\) como \(\frac{1}{\alpha}\) denotan el inverso multiplicativo de \(\alpha\). \(\frac{1}{\alpha}\) es el único complejo tal que:
\(\alpha(\frac{1}{\alpha})=1\).
\(\bullet\) Para \(\alpha\neq 0\), la división, por \(\alpha\), queda definida por:
\(\frac{\beta}{\alpha}=\beta(\frac{1}{\alpha})\).

En este punto cabe hacer hincapie en que cuando hablemos de un campo \(F\) en particular, estaremos haciendo referencia a \(\mathbb{R}\) o \(\mathbb{C}\). Ahora bien, a los elementos de un campo \(F\) se le llaman escalares, es decir que esta palabra es sólo una forma elegante de decir número, a menudo se utiliza para hacer enfácis en que un objeto es un número.

Definición. Si \(\alpha\in F\) y \(m\in \mathbb{Z}^{+}\), definimos \(\alpha^{m}\) como:

\(\alpha^{m}=\alpha\cdots\alpha\) (m veces).

En base a esta definición podemos probar el resultado que siguen.

Proposición. Si \(F\) es un campo y \(\alpha\in F\), \(m\in \mathbb{Z}^{+}\) entonces se cumle lo siguiente:

a) \((\alpha^{m})^{n}=\alpha^{mn}\) y

b) \((\alpha\beta)^{m}=\alpha^{m}\beta^{n}\).

Definición. Si \(n\in \mathbb{Z}^{+}\), definimos una n-tupla o n-ada como una secuencia ordenada finita de n elementos. Diremos que dos n-adas son iguales si son iguales elemento a elemento.

Un caso que nos sirve como ejemplo es \(\mathbb{R}^{n}\) (con \(n\in\mathbb{Z}^{+}\), donde si \(\overline{x}\in \mathbb{R}^{n}\) entonces:

\(\overline{x}=(x_{1}, ..., x_{n})\) y \(x_{i}\in \mathbb{R}\) para todo \(i\in \lbrace 1, 2, ..., n\rbrace\). En ocaciones dicha n-ada se suele denotar por:

\((x_{i})_{i=1}^{n}\),

en analogía con el ejemplo, que acabamos de comentar, podemos dar la siguiente definición.

Definición. Si \(F\) es un campo entonces \(F^{n}\) es el conjunto de todas las n-adas de elementos de \(F\):

\(F^{n}=\lbrace (x_{1}, ..., x_{n})\vert x_{i}\in F\) para todo \(i=1, ..., n\rbrace\).

Para \((x_{1}, ..., x_{n})\in F^{n}\) e \(i\in\lbrace 1, ..., n\rbrace\) decimos que \(x_{i}\) es la \(i\)-ésima coordenada de \((x_{1}, ..., x_{n})\). 

En \(F^{n}\) la suma está definida como sigue:

Para cualestuier \(\overline{x}, \overline{y}\in F^{n}\) tenemos que:

\(\overline{x}+\overline{y}=(x_{1}, ..., x_{n})+(y_{1}, ..., y_{n})=(x_{1}+y_{1}, ..., x_{n}+y_{n})\).

Con esto en mente consideremos la siguiente:

Proposición. Si \(\overline{x}, \overline{y}\in F^{n}\) entonces \(\overline{x}+\overline{y}=\overline{y}+\overline{x}\). 

Demostración:

Para demostrar esto simplemente consideramos las n-adas correspondientes y realizamos operaciones entrada a entrada. Veamos.

Si \(\overline{x}, \overline{y}\in F^{n}\) entonces \(\overline{x}=(x_{1}, ..., x_{n})\) y \(\overline{y}=(y_{1}, ..., y_{n})\), por lo tanto:

\(\overline{x}+\overline{y}=(x_{1}, ..., x_{n})+(y_{1}, ..., y_{n})\)

\(=(x_{1}+y_{1}, ..., x_{n}+y_{n}) =(y_{1}+x_{1}, ..., y_{n}+x_{n})\),

 esto es porque la propiedad conmutativa del campo \(F\) se utiliza entrada a entrada, luego:

\((y_{1}+x_{1}, ..., y_{n}+x_{n})=(y_{1}, ..., y_{n})+(x_{1}, ..., x_{n})=\overline{y}+\overline{x}\).

Por lo tanto \(\overline{x}+\overline{y}=\overline{y}+\overline{x}\).

\(\blacksquare\)

Conforme a las ideas que hemos estado comentando no es difícil darse cuenta que \(0_{F^{n}}=(0, ..., 0)\) y que éste funciona como el neutro en \(F^{n}\), es decir, para cualesquiera \(\overline{x}\in F^{n}\) se tiene que:

\(\overline{x}+0_{F^{n}}=0_{F^{n}}+\overline{x}=\overline{x}\).

Desde luego que \(0_{F^{n}}\neq 0\), uno es la n-ada de puros ceros y el otro es el escalar cero, el número cero. Más adelante también será necesario considerar este detalle cuando trabajemos en espacios vectoriales.

Veremos un par de definiciones más.

Definición. Para todo \(\overline{x}\in F^{n}\), el inverso aditivo de \(\overline{x}\), denotado por \(-\overline{x}\), es \(-\overline{x}\in F^{n}\), tal que

\(\overline{x}+(-\overline{x})=0\).

Por lo tanto si \(\overline{x}=(x_{1}, ..., x_{n})\), entonces \(-\overline{x}=(-x_{1}, ..., -x_{n})\).

Definición. El producto de un número (escalar) \(\lambda\in F\) y \(\overline{x}\in F^{n}\) se calcula mulltiplicando cada coordenada de \(\overline{x}\) por \(\lambda\);

\(\lambda\overline{x}=\lambda(x_{1}, ..., x_{n})=(\lambda x_{1}, ..., \lambda x_{n})\).

Por último podemos considerar un ejemplo básico, en \(\mathbb{R}^{2}, de lo que la multiplicación por escalar le hace a un vector.

Ejemplo. Si consideramos \(\overline{x}\in \mathbb{R}^{2}\) y \(\lambda\in \mathbb{R}\) tal que \(\lambda>0\) entonces

\(\lambda \overline{x}\) es un vector que apunta en la misma dirección que \(\overline{x}\) pero que tiene longitud \(\lambda\) veces la longitud de \(\overline{x}\). En otras palabras, tomar \(\lambda\overline{x}\) significa enconger o alargar a \(\overline{x}\) por un factor \(\lambda\), dependiendo si

\(\lambda < 1\) o si \(\lambda >1\).

Si \(\lambda<0\) entonces \(\lambda\overline{x}\) es un vector que apunta en la dirección opuesta que \(\overline{x}\) y cuya longitud es \(\vert\lambda\vert\)-veces la longitud de \(\overline{x}\).

\(\spadesuit\)

Pequeña disgresión en campos

Un campo, en general, es un conjunto que tiene al menos dos elementos distintos llamados \(0\) y \(1\), junto con sus operaciones de suma y producto que deben de satisfacer la lista de las nueve propiedaes que dimos al inicio de esta entrada. Entonces, como sabemos, \(\mathbb{R}\) y \(\mathbb{C}\), son campos al igual que \(\mathbb{Q}\) con la suma y el producto habituales. 

Otro ejemplo, no tan habitual, pero que no es complicado considerar es el conjunto \(\lbrace 1, 0\rbrace\) junto con las operaciones usuales de suma y producto excepto cuanto se tiene \(1+1\) que se define como \(0\) para que se cumplan las nueve propiedades de campo.

En el material que aquí consideraremos habitualmente trataremos con \(\mathbb{R}\) y \(\mathbb{C}\). Por otra parte muchas de las definiciones, teoremas y pruebas en el álgebra lineal que se ven, también funcionan en otros campos sin cambios.

En general cuando hablemos de un campo \(F\) estaremos pensando en \(\mathbb{R}\) o \(\mathbb{C}\). Por otro lado en algunos campos se puede cumplir también que \(1+1\neq 0\), en este caso se dice que la característica del campo es distinta de dos.

En general se dice que la característica de un campo no es cero si se trata de un campo donde la suma de \(1\) consigo mismo un cierto número de veces (la característica) resulta en \(0\) y ese número es mayor que 1. En contraste, un campo de característica cero (como los números reales) nunca llega a cero al sumar \(1\) repetidamente.

\(\clubsuit\)

Ejercicios

1. Muestra que \((\overline{x}+\overline{y})+\overline{z}=\overline{x}+(\overline{y}+\overline{z})\) para todo \(\overline{x}, \overline{y}, \overline{z}\in F^{n}\).

2. Muestra que \((a\cdot b)\overline{x}=a(b\overline{x})\) para todo \(\overline{x}\in F^{n}\) y para todo \(a, b\in F\).

3. Muestra que \(1\overline{x}=\overline{x}\) para todo \(\overline{x}\in F^{n}\).

4. Muestra que \(\lambda(\overline{x}+\overline{y}=\lambda\overline{x}+\lambda\overline{y}\) para todo \(\lambda\in F\) y para todo \(\overline{x}, \overline{y}\in F^{n}\).

5. Muestra que \((a+b)\overline{x}=a\overline{x}+b\overline{x}\) para todo \(a, b\in F\) y para todo \(\overline{x}\in F^{n}\).

6. Encuentra \(\overline{x}\in \mathbb{R}^{5}\) tal que:

\((4, 2, -1, 5, 7)+-1\overline{x}=(0, -7, 2, 3, -1)\).

7. Demuestra la proposición que quedo pendiente en esta entrada: Si \(F\) es un campo y \(\alpha\in F\), \(m\in \mathbb{Z}^{+}\) entonces se cumle lo siguiente:

a) \((\alpha^{m})^{n}=\alpha^{mn}\) y

b) \((\alpha\beta)^{m}=\alpha^{m}\beta^{n}\).

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1. Introducción

 En este blog se plantea de base, como objetivo, construir un texto práctico, didáctico y accesible sobre los temas principales del álgebra lineal. Cabe decir que no se pretende realizar una exposición tan profunda en lo teórico ya que eso será parte de las clases presenciales, por lo que éste texto es más un material de apoyo para la enseñanza. En el sentido de que permita un libre y rápido repaso de temas clave o práctica de resolución de ejercicios.

En las clases presenciales se pretende profundizar y analizar de manera rigurosa y formal los temas. Así que el curso no pierde su rigor. Por lo que este texto tiene más la intención servir de apoyo a tal labor.

Respecto de como se encuentra diseñado, este blog, cabe destacar lo siguiente:

\(\bullet\) Se mencionarán algunos resultados importantes y contando con que las respectivas demostraciones se verán en clase, se enfocara más a ver ejemplos prácticos.

\(\bullet\) En el caso de que presente alguna demostración, ésta se finalizará con el clásico cuadrito negro (\(\blacksquare\)).

\(\bullet\) Para indicar la finalización de un ejemplo se pondrá, al término, el as (\(\spadesuit\)).

\(\bullet\) Para indicar la finalización de una sección se pondrá, al término, el trébol (\(\clubsuit\)).

\(\bullet\) Los temas se irán presentando en concordancia al avance de la clase.

Algo de notación:

\(V_{F}\): El espacio vectorial V sobre el campo F.

\(M_{m,n}(F)\) o \(M_{m\times n}(F)\): El espacio vectorial de las matrices de m renglones (filas también se les acostumbra decir) por n columnas con entradas en el campo \(F\).

\(M_{n}(F)\): El espacio vectorial de las matrices de n renglones por n columnas, es decir las matrices cuadradas de n por n con entradas en el campo \(F\).

\(adj A\): La adjunta de la matriz A.

\(\mathbb C\): El campo de los números complejos.

\(\mathbb R\): El campo de los números reales.

\(\mathbb Q\): El campo de los números racionales.

\(\mathbb Z\): El conjunto de los números enteros.

\(\mathbb N\): El conjunto de los números naturales.

\(span(W)\) (o \(\mathcal L(W)\)): El generado del espacio vectorial W.

\(det(A)\) (o \(\vert A\vert\)): El determinante de la matriz A.

dim(V): La dimensión del espacio vectorial V.

N(T), Nuc(T), Ker(T): El núcleo o kernel de la transformación lineal T.

Im(T): La imagen de la transformación lineal \(T\)

f(A): La imagen del conjunto A bajo f.

\(f^{-1}(A)\): La imagen inversa del conjunto A bajo f.

\(W^{V}\): El conjunto de todas las funciones de V en W.

\(Hom(V, W)\): El espacio vectorial de todas las transformaciones lineales de V en W.

\(C(\mathbb R)\): El conjunto de todas las funciones (por lo regular de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\)) de valor real que tienen derivada continua.

\(C^{n}(\mathbb R)\): El conjunto de todas las funciones de valor real que tienen n-ésima derivada continua.

\(\mathbb C^{\infty}\): El conjunto de todas las funciones de valor real que tienen derivada de todos los órdenes.

Más adelante, si es que necesitamos nueva notación, la iremos introduciendo acorde a lo que vayamos ocupando.

\(\clubsuit\)

 

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