Operaciones con matrices
Para poder hablar del espacio de matrices, visto como espacio vectorial, tenemos que determinar ciertas operaciones, básicas, con matrices, como la suma y el producto por escalar. Sin embargo, aunque la multiplicación de matrices no nos será de utilidad en este caso, también convendrá mostrarla.
Comenzaremos trabajando con la suma o adición de matrices, ésta es la operación más sencilla. Esta operación puede efectuarse cuando las matrices son del mismo tamaño u orden. El resultado se obtiene sumando los elementos correspondientes de ambas matrices. Veamos.
Definición. Si \(A, B\in M_{m\times n}(F)\), entonces la suma de A y B está definida por la matriz C, \([c_{ij}]\), dada por:
\(c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\) para todo \(i\in \lbrace 1, 2, ..., m\rbrace\) y para todo \(j\in \lbrace 1, 2, ..., n\rbrace\).
Ejemplo. Consideremos \(A, B\in M_{3, 2}(\mathbb{R})\), y \(C\in M_{2, 3}(\mathbb{C})\) tal que \(A=\begin{equation}\left[ \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -3 & 5 \\ 0 & -2\end{array}\right ]\end{equation} \) y \(B=\begin{equation}\left[ \begin{array}{cc} -1 & -1 \\ -4 & 0 \\ 3 &-1\end{array}\right]\end{equation}\),\(C=\left[\begin{array}{cc}-1&5&2i\\7+i&0&3\end{array}\right]\), determina \(A+B\), \(A+C\) y \(B+C\).
Solución:
La suma de \(A\) con \(B\) si es posible hacerla ya que ambas están definidas en el mismo campo y tienen el mismo tamaño.
\(A+B=\begin{equation}\left[ \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -3 & 5 \\ 0 & -2 \end{array}\right ]\end{equation} \) + \(\begin{equation}\left[ \begin{array}{cc} -1 & -1 \\ -4 & 0 \\ 3 &-1 \end{array}\right ]\end{equation}=\left[\begin{array}{cc} 1&-2\\-7&5\\3&-3\end{array}\right]\).
Notamos que la suma se realiza entrada a entrada y debido a que ni siquiera tienen el mismo tamaño, ni están definidas en el mismo campo, la suma \(A+C\) no se puede realizar, no está definida, no existe. Análogamente \(B+C\).
\(\spadesuit\)
De este sencillo ejemplo podemos ver y nos debe quedar claro que solamente podemos sumar matrices que tengan el mismo tamaño y que sus entradas estén el mismo campo. Sin embargo en algunos textos se puede definir la suma entre matrices que tengan el mismo tamaño pero cuyas entradas se encuentren en diferentes campos siempre y cuando un campo esté contenido en el otro, como ocurre con los reales y los complejos. En este texto sólo consideraremos que la suma tiene sentido si las matrices implicadas tienen el mismo tamaño y están definidas en el mismo campo.
Multiplicación por escalar
Multiplicar una matriz, por un escalar, viene a ser algo análogo a lo que hacíamos con los vectores en el plano cartesiano. es decir, debemos multiplicar entrada a entrada.
Definición. Si \(A\in M_{m\times n}(F)\) y \(\alpha\in F\), entonces definimos el producto de \(\alpha\) por \(A\) como:
\(\alpha A=\alpha[a_{ij}]=[\alpha a_{ij}]\) para toda \(i\in \lbrace 1, 2, ..., m\rbrace\) y toda \(j\in \lbrace 1, 2, ..., n\rbrace\).
Ejemplo. Si \(A\in M_{2\times 4}(\mathbb{C})\), tal que \(A=\left[\begin{array}{cc} -1&-i&2i&5\\ 3&0&-4i&\sqrt{2}\end{array}\right]\) y \(3i\in \mathbb{C}\), determina \(3iA\).
Solución:
Se tiene que \(3i A=3i\left[\begin{array}{cc}-1&-i&-2i&5\\3&0&-4i&\sqrt{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} -3i&3&6&15i\\9i&0&12&3i\sqrt{2}\end{array}\right]\).
Vemos que la multiplicación por escalar se realiza entrada a entrada. En realidad es un algoritmo muy sencillo.
\(\spadesuit\)
Multiplicación entre matrices
Para determinar el producto, de matrices, requeriremos un poco más de cuidado pero en realidad también es un algoritmo sencillo entre matrices, por lo mismo, en muchas ocasiones un@ tiende a ser descuidado en las cuentas y puede llevar a errores de cálculo, sin embargo, la idea, es sencilla una vez que un@ la entiende.
Definición. Si \(A\in M_{l\times m}(F)\) y \(B\in M_{m\times n}(F)\), entonces el producto de \(A\) por \(B\), es la matriz \(A\cdot B\) (o \(AB\) simplemente) de \(l\times n\), definido por:
\([p_{ij}]\) donde \(p_{ij}=\Sigma_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}\) con \(i\in \lbrace 1, 2, ..., m\rbrace\) y \(j\in \lbrace 1, 2, ..., \rbrace\).
Ejemplo. Considera \(A\in M_{4\times 3}(\mathbb{R})\) y \(B\in M_{3\times 2}(\mathbb{R})\), tales que: \(A=\left[\begin{array}{cc}5&3&-1\\0&1&-3\\-2&0&1\\1&-1&3\end{array}\right]\) y \(B=\left[\begin{array}{cc}2&0\\-3&4\\-1&3\end{array}\right]\). Determina \(AB\) y \(BA\).
Solución:
Notamos que \(A\) es una matriz de \(4\times 3\) y \(B\) es una matriz de \(3\times 2\), entonces el número de columnas de \(A\) coincide con el número de renglones de \(B\) entonces es posible llevar a cabo el producto, nos debería de quedar, en este caso, una matriz de \(4\times 2\). Vamos a realizar el producto de dos maneras diferentes para que haya una mejor comprensión. Un producto lo haremos tal cual tomando las matrices y multiplicando entrada a entrada. El otro producto lo realizaremos mediante la fórmula dada en la definición. Veamos.
\(AB=\left[\begin{array}{cc}5&3&-1\\0&1&-3\\-2&0&1\\1&-1&3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2&0\\-3&4\\-1&3\end{array}\right]=\)
\(\left[\begin{array}{cc}(5)(2)+(3)(-3)+(-1)(-1)&(5)(0)+(3)(4)+(-1)(3)\\(0)(2)+(1)(-3)+(-3)(-1)&(0)(0)+(1)(4)+(-3)(3)\\(-2)(2)+(0)(-3)+(1)(-1)&(-2)(0)+(0)(4)+(1)(3)\\(1)(2)+(-1)(-3)+(3)(-1)&(1)(0)+(-1)(4)+(3)(3)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2&9\\0&-5\\-5&3\\2&5\end{array}\right]\).
Vemos que la multiplicación \(B\cdot A\) no se puede realizar, ya que carece de sentido, al tener que el número de columnas de \(B\) no corresponde con el número de renglones de \(A\).
Realizaremos, también, el producto \(A\cdot B\) considerando la fórmula dada en la definición. Veamos.
\(A\cdot B=[p_{ij}]\), donde: \(p_{ij}=\Sigma_{k=1}^{3}a_{ik}b_{kj}\)
\(p_{11}=\Sigma_{k=1}^{3}a_{1k}b_{k1}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}=5(2)+3(-3)-1(-1)=2\).
\(p_{12}=\Sigma_{k=1}^{3}a_{1k}b_{k2}=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32}=5(0)+3(4)-1(3)=9\).
\(p_{21}=\Sigma_{k=1}^{3}a_{2k}b_{k1}=a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31}=0(2)+1(-3)-3(-1)=0\).
\(p_{22}=\Sigma_{k=1}^{3}a_{2k}b_{k2}=a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32}=0(0)+1(4)-3(3)=-5\).
Todos los demás productos se realizan de manera similar, así que para ya no estar escribiendo la suma, pondremos únicamente el resultado.
\(p_{31}=-5\)
\(p_{32}=3\)
\(p_{41}=2\)
\(p_{42}=5\)
y entonces nos queda la matriz:
\(AB=\left[\begin{array}{cc}2&9\\0&-5\\-5&3\\2&5\end{array}\right]\).
Que es exactamente la misma que habíamos obtenido mediante el cálculo directo.
\(\spadesuit\)
Ya estudiamos la suma de matrices, el producto de un escalar por una matriz y el producto de matrices. Pero es mediante la operación de suma de matrices y producto, de escalar por matriz, que podremos determinar el espacio vectorial de las matrices.
Proposición. Si \(M_{m\times n}(F)\) es el conjunto de las matrices rectángulares de \(m\times n\), entonces éste conjunto junto con la suma de matrices y el producto de escalar por matriz, es un espacio vectorial sobre el campo \(F\).
Demostración:
Es claro que se cumple la cerradura bajo la suma de matrices, pues si \(A, B\in M_{m\times n}(F)\) entonces \(A+B\in M_{m\times n}(F)\) pues la suma está definida entrada a entrada por lo que el orden de las matrices no se altera.
1. Sean \(A, B\in M_{m\times n}(F)\), por lo que \(A+B\) es la matriz dada en forma reducida como:\([a_{ij}]+[b_{ij}]=[a_{ij}+b_{ij}]=[b_{ij}+a_{ij}]=[b_{ij}]+[a_{ij}]\), luego \(A+B=B+A\), en este caso la comuntatividad entrada a entrada se da porque las entradas se encuentran en el campo \(F\) y justo la conmutatividad es una propiedad que cumplen todos los elementos de \(F\).
2. Sean \(A, B, C\in M_{m\times n}(F)\), luego \((A+B)+C)\) es la matriz determinada, en forma reducida como:
\(([a_{ij}]+[b_{ij}])+[c_{ij}]=[(a_{ij}+b_{ij})+c_{ij}]=[a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij})]=[a_{ij}]+([b_{ij}+c_{ij}])\), de manera análoga, la propiedad de asociatividad se cumple en \(F\) y dado que las entradas de las matrices están en \(F\) entonces cumplen la asociatividad (nota que todo se reduce a aplicar las propiedades del campo entrada a entrada), luego:
\((A+B)+C=A+(B+C)\).
3. Si \(A\in M_{m\times n}(F)\) el neutro bajo la suma, en este caso, es la matriz \(O_{m,n}\), esta cumple que:
\(A+O_{m,n}=O_{m,n}+A\),
que es justo la propiedad de ser el neutro.
4. Si \(A\in M_{m\times n}(F)\) podemos considerar \(-1A\), sabemos que \(-1A\in M_{m \times n}(F)\) y \(A+(-1)A=(-1)A+A=O_{m,n}\) pues, en este caso, cada entrada de la matriz \(-1A\) es el inverso aditivo de cada entrada de la matriz \(A\).
5. Podemos notar, que si \(A\in M_{m\times n}(F)\) entonces \(1\cdot A=A\).
6. Si \(\alpha, \beta \in F\) y \(A\in M_{m\times n}(F)\) se tiene que:
\((\alpha\beta)A\) en realidad es la matriz:
\(\alpha\beta[a_{ij}]=\alpha(\beta[ a_{ij}])\), luego:
\((\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)\).
7. Si \(\alpha\in F\) y \(A, B\in M_{m\times n}(F)\) entonces \(\alpha(A+B)\) viene dada por la matriz:
\(\alpha([a_{ij}]+[b_{ij}])=\alpha[a_{ij}+b_{ij}]=[\alpha(a_{ij}+b_{ij})]=[\alpha a_{ij}+\alpha b_{ij}]=[\alpha a_{ij}]+[\alpha b_{ij}]=\alpha([a_{ij}])+\alpha([b_{ij}])\), luego
\(\alpha A+\alpha B\in M_{m\times n}(F)\).
8. Si \(\alpha, \beta\in F\) y \(A\in M_{m\times n}(F)\), entonces:
\((\alpha +\beta)[a_{ij}]=[(\alpha +\beta)a_{ij}]=[\alpha a_{ij}+\beta a_{ij}]=[\alpha a_{ij}]+[\beta a_{ij}]=\alpha[a_ij]+\beta[a_{ij}]\), luego
\((\alpha +\beta)A=\alpha A+\beta A\).
De esta manera queda demostrado que las matrices junto con la suma de matrices y la multiplicación por escalar, conforman un espacio vectorial que podrías considerar como la cuádrupla:
\((M_{m\times n}, +, *, O_{m,n}, 1_{F})\).
\(\blacksquare\)
En la siguiente sección trabajaremos un poco más con el producto de matrices. En esta entrada sólo hemos mencionado como se define y algunas de sus propiedades. Algunas propiedaes de la suma las pudimos ver en la última demostración. Aunque para lograr una mejor claridad se pedirá demostrar, éstas, en la tarea voluntaria.
\(\clubsuit\)
Entrada anterior \(\Rightarrow\) 5. Matrices
Siguiente entrada \(\Rightarrow\) 5.2. Multiplicación de matrices
Tarea voluntaria
1. Demuestra que si \(A, B\in M_{m\times n}(F)\) y \(\alpha, \beta\in F\) entonces:
a) \(\alpha (A+B)=\alpha A+\alpha B\)
b) \((\alpha+\beta)A=\alpha A+\beta A\)
c) \(\alpha(\beta A)=(\alpha \beta) A\)
2. Para las siguientes matrices:
\(A=\left[\begin{array}{cc}5&-2&7\\0&3&a_{2 3}\\2&-1&-3\end{array}\right]\); \(B=\left[\begin{array}{cc}-1&2&-3\\-2&-1&0\\b_{3 1}&1&3\end{array}\right]\); \(C=\left[\begin{array}{cc}1&2&-1\\-3&0&c_{2 3}\\5&1&3\end{array}\right]\).
Determina los valores de \(a_{2 3}\), \(b_{3 1}\) y \(c_{2 3}\), que cumplen con la igualdad \(A+3B=2C\).
3. Considera las siguientes matrices:
\(A=\left[\begin{array}{cc}2i&1+i\\2&i\\-1&2-i\end{array}\right]\); \(B=\left[\begin{array}{cc}3&-1\\3i&i\\2&1-2i\end{array}\right]\); \(C=\left[\begin{array}{cc}i&2i\\2-i&1\\-1&3i\end{array}\right]\).
Calcula \(A+B\), \(A-B\), \(B-A\), \(2A-C\) y \(3B+2C\).
No hay comentarios:
Publicar un comentario