Continuando con el comentario final de la entrada anterior veremos lo referente a la inversa de una matriz.
Definición. Si \(A\in M_{n\times n}(F)\), diremos que \(B\in M_{n\times n}(F)\) es la inversa de \(A\) si:
\(AB=I_{n}=BA\).
Tal matriz \(B\) suele representarse por \(A^{-1}\).
En primer lugar para poder pensar en que una matriz tenga una inversa, debemos de tener en cuenta que debe tratarse de una matriz cuadrada, sin embargo no toda matriz cuadrada tendrá inversa. En todo caso, si una matriz tiene una inversa, ésta será única. En realidad es sencillo darse cuenta de esto, veamos (antes de ejemplos).
Consideremos \(A\in M_{n\times n}(F)\) y supongamos que tiene una inversa \(B\in M_{n\times n}(F)\), entonces:
\(AB=I_{n}=BA\),
por otra parte supongamos que \(C\in M_{n\times}(F)\) es otra inversa de \(A\), entonces:
\(AC=I_{n}=CA\),
luego:
\(C=CI_{n}=CAB=I_{n}B=B\),
por lo tanto:
\(C=B\).
Luego, si una matriz tiene una inversa esta será única y del mismo orden que la matriz original.
Definición. Si \(A\in M_{n\times n}(F)\), diremos que \(A\) no es singular si existe \(A^{-1}\in M_{n\times n}\) la inversa de \(A\). En este caso también diremos que \(A\) es invertible.
En caso de que \(A\) no tenga inversa diremos que \(A\) es singular o que es no ivertible.
Teorema. Si \(A, B\in M_{n\times n}(F)\) invertibles (o no singulares) y \(\alpha\in F\) entonces:
a) \(A^{-1}\) (así como \(B^{-1}\)) es única.
b) (\(A^{-1})^{-1}=A\).
c) \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\).
d) (\(\alpha A)^{-1}=\frac{1}{\alpha}A^{-1}\), si \(\alpha\neq 0\).
Llegados a este punto mostraremos que al menos existen dos maneras de determinar la inversa de una matriz invertible, en caso de que la matriz en cuestión lo sea.
Ejemplo. Considera la matriz \(A=\left[\begin{array}{cc}-2&0\\0&0\end{array}\right]\) y supongamos que deseamos determinar si \(A\) es invertible, para eso tenemos que comprobar si, en efecto, \(A\) tiene inversa. Veamos:
Para la matriz \(A\), una matriz \(B\) tal que \(AB=I_{2}=BA\) debe cumplir que:
\(AB=I_{2}\) y \(BA=I_{2}\).
Si \(AB=I_{2}\) entonces:
\(\left[\begin{array}{cc}-2&0\\0&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]\),
de esto obtenemos que:
\(\left[\begin{array}{cc}-2b_{11}&-2b_{12}\\0&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]\),
luego para que se de la igualdad, entre estas matrices, deben de ser iguales entrada a entrada, pero de esto llegamos a que:
\(0=1\) lo cual es un absurdo, por lo tanto concluimos que \(A\) no tiene inversa \(\bullet\)
La otra manera de comprobar esto es por medio del siguiente procedimiento:
Consideramos la matriz ampliada como sigue:
\(\left[\begin{array}{cc|cc}-2&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right]\),
luego, debemos realizar operaciones de tal manera que en el primer renglón nos quede 1 en la entrada 1,1 y ceros en todas las demás, luego debemos hacer 1 en la entrada 2,2 y cero en todas las demás. Notamos que al realizar tales operaciones obtenemos:
\(\left[\begin{array}{cc|cc}1&0&-\frac{1}{2}&0\\0&0&0&1\end{array}\right]\),
puesto que en lado izquierdo nos quedo la matriz:
\(\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right]\),
esto nos indica que la matriz \(A\) no tiene inversa pues no obtendremos la identidad al multiplicar \(A\) por la matriz:
\(\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}&0\\0&1\end{array}\right]\).
\(\spadesuit\)
Aquí pudimos ver al menos dos maneras de determinar la inversa de una matriz dada. El primer método podría volverse muy engorroso, el segundo método es más eficaz pero debemos ver más ideas para poderlo comprender mejor.
Calculo de matrices inversas por medio de operaciones elementales
Definición. Una matriz elemental es aquella que se obtiene aplicando a \(I_{n}\) una trasformación elemental, que son las siguientes:
\(\cdot\) Intercambio de renglones de \(I_{n}\).
\(\cdot\) Multiplicar un renglón de \(I_{n}\) por un número \(k\neq 0\).
\(\cdot\) Sumar a un renglón, de \(I_{n}\), el múltiplo, distinto de cero, de otro renglón de \(I_{n}\).
Ejemplo. Ya que \(I_{3}=\left[\begin{array}{cc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\). Las siguientes son matrices elementales:
\(\cdot\) Intercambiar la fila 1 por la fila 2 de \(I_{3}\).
\(\left[\begin{array}{cc}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{array}\right]\)
\(\cdot\) Multiplicar una fila, de \(I_{3}\), por un escalar no cero (en este caso por \(-2\)).
\(\left[\begin{array}{cc}-2&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\)
\(\cdot\) Sumar el múltiplo de una fila a otra, por ejemplo sumar 3 veces la fila 1, de \(I_{3}\), a la fila 2 de \(I_{3}\).
\(\cdot\) \(\left[\begin{array}{cc}1&0&0\\3&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\)
\(\spadesuit\)
En este punto hay algo interesante que conviene tener en cuenta. Cuando se realizan operaciones elementales en cualquier matriz, en realidad esto se relaciona con las matrices elementales, sólo que se maneja, comúnmente, como si sólo se realizarán operaciones y ya. Para comprender mejor esto veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo. Consideremos la matriz \(A=\left[\begin{array}{cc}2&-1&2&0\\3&-1&-2&-2\\1&0&0&0\end{array}\right]\), luego supongamos
que queremos sumar menos un veces el segundo renglón con el primer renglón y al resultado ponerlo como nuevo renglón dos. Esto se puede hacer como sigue.
Tenemos que \(I_{3}=\left[\begin{array}{cc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\), por lo que la matriz elemental que hace lo que queremos se obtiene realizando la siguiente operación:
\(\cdot\) \(NR_{2}=R_{1}+(-1)R_{2}\) (que significa: nuevo renglón dos es igual al renglón uno más menos el renglón dos). Tal operación nos deja la matriz elemental:
\(E_{1}=\left[\begin{array}{cc}1&0&0\\1&-1&0\\0&0&1\end{array}\right]\),
luego para completar lo que queríamos, que en un principio era sumar menos una vez el segundo renglón con el primer renglón y poner esto como nuevo renglón dos, simplemente realizamos la multiplicación:
\(E_{1}A=\left[\begin{array}{cc}1&0&0\\1&-1&0\\0&0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2&-1&2&0\\3&-1&-2&-2\\1&0&0&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2&-1&2&0\\-1&0&4&2\\1&0&0&0\end{array}\right]\).
En este punto terminamos, pero vemos que el proceso puede ser un poco engorroso. De hecho se acostumbra realizar directamente las operaciones sobre la matriz dada sin hacer referencia a que detrás de esto en realidad estamos multiplicando por matrices elementales tal como lo acabamos de hacer. Para comprobar que esto se puede hacer directamente, realicemos el mismo ejercicio pero haciendo las operaciones directamente sobre la matriz original sin considerar matrices elementales. Veamos:
\(A=\left[\begin{array}{cc}2&-1&2&0\\3&-1&-2&-2\\1&0&0&0\end{array}\right]\), luego:
\(R_{1}+(-1)R_{2}=\begin{array}{cccc}2&-1&2&0\\-3&1&2&2\\\hline -1&0&4&2\end{array}\), así que obtenemos la nueva matriz:
\(A'=\left[\begin{array}{cccc}2&-1&2&0\\-1&0&4&2\\1&0&0&0\end{array}\right]\), que es justo la misma matriz que habíamos obtenido anteriormente multiplicando por la matriz elemental \(E_{1}\).
Nota que es mucho más práctico realizar la operación directamente a tener que utilizar matrices elementales para hacer lo mismo. Sin embargo es necesario saber de dónde sale la idea de este proceso. Considerar la definición y tomarla en cuenta para poder profundizar adecuadamente en nuestra teoría.
\(\spadesuit\)
En la práctica, para realizar operaciones elementales en cualquier matriz, se suele hacer sin el uso o referencia a las matrices elementales, es decir, se realizan las operaciones directamente sobre la(s) matriz(ces) dada(s), tal como vimos en la segunda parte del ejemplo anterior. Sin embargo el siguiente teorema destaca el proceso general.
Teorema. Si \(A\in M_{m\times n}(F)\), \(E_{1}\) la matriz que intercambia los renglones \(i\) y \(j\) de \(I_{m}\), \(E_{2}\) la matriz que se obtiene de multiplicar el renglón \(i\) por \(k\neq 0\) de \(I_{m}\), \(E_{3}\) la maatriz que se obtiene sumando al renglón \(j\) de la matriz \(I_{m}\) el renglón \(i\) multiplicado por \(k\neq 0\), entonces:
\(\cdot\) \(E_{1}A\) es la matriz en la que se intercabiaron los renglones \(i\) y \(j\) de la matriz \(A\).
\(\cdot\) \(E_{2}A\) es la matriz en la que se multiplicó el reglón \(i\) por la constante \(k\neq 0\).
\(\cdot\) \(E_{3}A\) es la matriz que se ha obtenido sumando el renglón \(j\) de la matriz \(A\) a el renglón \(i\) multiplicado por \(k\).
En el siguiente ejemplo veremos cómo utilizar matrices elementales para complementar lo que hemos comentado, pero debe tenerse en cuenta que en la práctica no se suelen utilizar, matrices elementales, para realizar operaciones sobre una matriz dada.
Ejemplo. Sea \(A=\left[\begin{array}{cccc}1&2&-1&3\\3&5&6&7\\0&1&4&-2\end{array}\right]\), luego si queremos que nuestro nuevo renglón dos sea el renglón uno multiplicado por -3 más el renglón 2, entonces tenemos que multiplicar, por la izquierda a la matriz \(A\), por la matriz elemental \(E_{1}\) como sigue:
\(E_{1}A=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\-3&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1&2&-1&3\\0&-1&9&-2\\0&1&4&-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1&2&-1&3\\0&-1&9&-2\\0&1&4&-2\end{array}\right]\). Nota que
justo \(E_{1}\) es la matriz elemental que se obtiene, de \(I_{3}\), multiplicando por -3 el renglón uno, sumándolo al renglón dos y poniendo éste como el nuevo renglón dos. Es decir que justo la operación que le queremos realizar a la matriz original se la tenemos que hacer a la identidad correspodiente y luego multiplicar, por la izquierda, con esta matriz a la matriz original.
Si ahora queremos que nuestro nuevo renglón uno sea el renglón dos multiplicado por 2 más el renglón uno, entonces tenemos que multiplicar \(A\), a la izquierda, por la matriz \(E_{2}\) como sigue:
\(E_{2}A=\left[\begin{array}{ccc}1&2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1&2&-1&3\\0&-1&9&-2\\0&1&4&-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0&17&-1\\0&-1&9&-2\\0&0&13&-4\end{array}\right]\).
Si ahora queremos que nuestro nuevo renglón tres sea la suma del renglón dos más el renglón tres, entonces debemos multiplicar por \(E_{3}\) como sigue:
\(E_{3}A=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1&0&17&-1\\0&-1&9&-2\\0&1&4&-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1&0&17&-1\\0&-1&9&-2\\0&0&13&-9\end{array}\right]\).
Creo que en este punto ya te habrás percatado que justo las operaciones que se quieren realizar, se realizan primero en la identidad, correspondiente y luego se multiplica a la izquierda, la matriz original, para así obtener lo que se quiere. Nota que todas estas operaciones se pueden realizar directamente, como se mostró en el ejemplo anterior, previo al teorema que vimos sobre operaciones elementales. Realicé este ejemplo para dejar más claro las operaciones elementales a las que he hecho referencia.
\(\spadesuit\)
En adelante realizaremos las operaciones directamente sobre las matrices que veamos, sin embargo no dejes de lado que en el fondo se encuentra este proceso de multiplicar por matrices elementales.
Veremos lo referente a encontrar la inversa de una matriz cuadrada (pues sólo para éstas es que está definida la inversa) utilizando el proceso de reducción gaussiana que veremos más a detalle.
\(\clubsuit\)
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