En general una matriz es un arreglo rectangular de elementos de un campo \(F\) dispuestos en \(m\) renglones (filas) por \(n\) columnas, como se muestra:
\(\begin{equation}\left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} &\cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\cdots & a_{2n}\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots\\ a_{m1} & a_{m2} &\cdots &a_{mn} \end{array}\right ]\end{equation} \) ó \(\begin{equation}\left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} &\cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\cdots & a_{2n}\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots\\ a_{m1} & a_{m2} &\cdots &a_{mn} \end{array}\right )\end{equation} \)
Ya sea que se usen los paréntesis cuadrados o redondos. Tal vez se usen más los redondos para que no pudiera haber una posible confusión con el determinante que veremos más adelante. Sin embargo no tiene importancia, en sí, que se usen los paréntesis que se usen.
Denotamos por \(M_{m\times n}(F)\) al conjunto de todas la matrices de \(m\times n\) con entradas en un campo \(F\). En ocasiones se le suele llamar la entrada \((i, j)\) de la matriz. Para \(i\in \lbrace 1, 2, ..., m\rbrace\) se tiene que:
\(R_{i}=(a_{i1}, a_{i2}, ..., a_{in})\) es el \(i-ésimo\) renglón y para \(j\in \lbrace 1, 2, ..., n\rbrace\) se tiene que:
\(C_{j}= \begin{equation}\left[ \begin{array}{cc} a_{1j}\\ a_{2j}\\ \cdots \\ a_{mj} \end{array}\right ]\end{equation} \) es la \(j-ésima\) columna.
Si \(m=n\) entonces denotamos por:
\(M_{n}(F)\)
al conjunto de las matrices de \(n\times n\), es decir, al conjunto de las matrices cuadradas de \(n\times n\).
Es común, al trabajar con matrices, utilizar la notación más compacta:
\([a_{ij}]\)
para hacer referencia a la matriz de m renglones por n columnas. De una vez conviene dar la definición de un concepto al que hicimos referencia en una entrada anterior, este la idea de transposición. Queda determinada en la siguiente definición.
Definición. Si \(A\in M_{m\times n}(F)\), \(A=[a_{ij}]\), es una matriz de m renglones por n columnas con entradas en un campo \(F\), definimos la transpuesta de \(A\), denotada por \(A^{t}\), como:
\([a_{ji}]\).
es decir, intercambiamos la entrada \(a_{ij}\) por la entrada \(a_{ji}\). Lo que nos da como resultado que intercambiemos renglones por columnas.
Consideremos el siguiente ejemplo para que se aclare bien esta idea.
Ejemplo. Sea \(A\in M_{4\times 3}(\mathbb{R})\), donde:
\(A=\begin{equation}\left[ \begin{array}{cc} 2 & -1 & 0 \\ -3 & 5 &\sqrt{2}\\ 3 &-1 & 1\\ 0 & -2 & 7\end{array}\right ]\end{equation} \), entonces: \(A^{t}=\begin{equation}\left[ \begin{array}{cc} 2 & -3 & 3 & 0 \\ -1 & 5 &-1 & -2\\ 0 &\sqrt{2} & 1 & 7\end{array}\right ]\end{equation} \).
\(\spadesuit\)
Otro ejemplo interesante, al que después haremos referencia, es el siguiente.
Ejemplo. Si \(X\in F^{n}\) lo podemos considerar como un vector columna:
\(X=\begin{equation}\left[ \begin{array}{cc} x_{11} \\ x_{21}\\ \vdots\\ x_{n1} \end{array}\right ]\end{equation} \), luego: \(X^{t}=\left[ x_{11}, x_{21}, ..., x_{n1}\right]\).
\(\spadesuit\)
Definición. Si \(A\in M_{m\times n}(F)\) y \(B\in M_{m\times n}(F)\), decimos que \(A=B\) si y sólo si:
\(a_{ij}=b_{ij}\) para todo \(i\in \lbrace 1, 2, ..., n\rbrace\) y para todo \(j\in \lbrace 1, 2, ..., m\rbrace\).
Ejemplo. Si \(A\in M_{4\times 3}(\mathbb{R})\) y \(B\in M_{4\times 3}(\mathbb{R})\), son tales que:
\(A=\begin{equation}\left[ \begin{array}{cc} -7 & -1 & 0 \\ -3 & 5 &\sqrt{2}\\ 3 &-1 & 1\\ 0 & -2 & 7\end{array}\right ]\end{equation} \) y \(B=\begin{equation}\left[ \begin{array}{cc} 2 & -1 & 0 \\ -3 & 5 &\sqrt{2}\\ 3 &-1 & 1\\ 0 & -2 & 7\end{array}\right ]\end{equation} \).
Entonces podemos concluir que \(A\neq B\), ya que a pesar de que casi tienen todas sus entradas iguales, la entrada (1, 1) no es igual en ambas matrices. Para que sean, consideradas iguales, deben de tener todas sus entradas iguales, estar definidas en el mismo campo y tener el mismo tamaño.
\(\spadesuit\)
Matrices especiales
Algunas matrices que vale la pena resaltar, por su importancia en la teoría, son, la matriz cero y la matriz identidad. Veamos.
Definición. \(O_{m,n}\in M_{m\times n}(F)\) denota a la matriz de ceros de \(m\times n\) y se define como:
\(a_{ij}=0\) para todo \(i\in \lbrace 1, 2, ..., m\rbrace\) y para todo \(j\in \lbrace 1, 2, ..., n\rbrace\).
En el caso de que \(m=n\) estamos hablando de la matriz cuadrada, de puros ceros, \(O_{n}\).
Definición. \(I_{n}\in M_{n}(F)\) denota a la matriz identidad de \(n\times n\) y se define como:
\(a_{ij}=1\) si \(i=j\) y \(a_{ij}=0\) si \(i\neq j\).
Algo que es muy importante tener en cuenta es que la matriz identidad es una matriz cuadrada, es decir, no tiene sentido hablar de matriz identidad, en el sentido que entenderemos por identidad de matrices, en matrices que no sean matrices cuadradas. Eso contrasta un poco con la matriz cero que definimos, pues es ese caso si podremos considerar la matriz cero de \(n\times m\).
Ejemplo. \(I_{4}\in M_{4}(F)\), \(O_{4,3}\in M_{4\times 3}(F)\) y \(O_{3}\in M_{3}(F)\) son las matrices dadas como sigue.
\(I_{4}=\begin{equation}\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1&0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right ]\end{equation} \); \(O_{4, 3}=\begin{equation}\left[ \begin{array}{cc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right ]\end{equation} \); \(O_{3}=\begin{equation}\left[ \begin{array}{cc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right ]\end{equation} \).
\(\spadesuit\)
En las siguientes secciones trabajaremos con suma de matrices, multiplicación de matrices y demás propiedades sobre matrices. Veremos más tipos de matrices especiales entre otras cosas.
\(\clubsuit\)
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