En el álgebra lineal se suele hacer referencia a campos arbitrarios, sin embargo no perdemos riqueza, en la teoría, si trabajamos pensando en el campo de los números reales \(\mathbb{R}\) y en el campo de los números complejos \(\mathbb{C}\), así que cuando hablemos de un campo \(F\) en particular estaremos pensando en cualesquiera de estos dos campos. Salvo que se mencione lo contrario, en ocaciones, puede que también consideremos el campo con dos elementos \(\mathbb{F}_{2}\) que, en su momento, diremos quién es o como está constituido.
Es conveniente que recordemos el campo de los números reales \(\mathbb{R}\) y sus propiedes.
Si \(\mathbb{R}\) es el conjunto de los números reales y \(a, b, c\in \mathbb{R}\) entonces:
1. (Ley asociativa para la suma) a+(b+c)=(a+b)+c.
2. (Existencia de una identidad para la suma) a+0=0+a=a.
3. (Existencia de inversos para la suma) a+(-a)=(-a)+a=0.
4. (Ley conmutativa para la suma) a+b=b+a.
5. (Ley asociativa para la multiplicación) \(a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\).
6. (Existencia de una identidad para la multiplicación) \(a\cdot 1=1\cdot a=a; 1\neq 0\).
7. (Existencia de inversos para la multiplicación) \(a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=1\), para \(a\neq 0\).
8. (Ley conmutativa para la multiplicación) \(a\cdot b=b\cdot a\).
9. (Ley distributiva) \(a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\).
Luego si \(P\) es el subconjunto de \(\mathbb{R}\) de todos los números positivos, tenemos tres propiedades adicionales:
10. (Ley de tricotomía) Si \(a\in \mathbb{R}\) se cumple uno y sólo uno de los siguientes incisos:
(i) \(a=0\).
(ii) \(a\in P\)
(iii) \(-a\in P\).
11. (La suma es cerrada) Si \(a, b\in P\) entonces \(a+b\in P\).
12. (La multiplicación es cerrada) Si \(a, b\in P\) entonces \(a\cdot b\in P\). Luego se complementan con las siguientes definiciones:
\(a < b\) si y sólo si \(a-b\in P\);
\(a < b\) si y sólo si \(b>a\);
\(a ≥ b\) si y sólo si \(a>b\) o \(a=b\);
\(a\leq b\) si y sólo si \(a < b\) o \(a=b\).
1. (Ley asociativa para la suma) a+(b+c)=(a+b)+c.
2. (Existencia de una identidad para la suma) a+0=0+a=a.
3. (Existencia de inversos para la suma) a+(-a)=(-a)+a=0.
4. (Ley conmutativa para la suma) a+b=b+a.
5. (Ley asociativa para la multiplicación) \(a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\).
6. (Existencia de una identidad para la multiplicación) \(a\cdot 1=1\cdot a=a; 1\neq 0\).
7. (Existencia de inversos para la multiplicación) \(a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=1\), para \(a\neq 0\).
8. (Ley conmutativa para la multiplicación) \(a\cdot b=b\cdot a\).
9. (Ley distributiva) \(a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\).
Luego si \(P\) es el subconjunto de \(\mathbb{R}\) de todos los números positivos, tenemos tres propiedades adicionales:
10. (Ley de tricotomía) Si \(a\in \mathbb{R}\) se cumple uno y sólo uno de los siguientes incisos:
(i) \(a=0\).
(ii) \(a\in P\)
(iii) \(-a\in P\).
11. (La suma es cerrada) Si \(a, b\in P\) entonces \(a+b\in P\).
12. (La multiplicación es cerrada) Si \(a, b\in P\) entonces \(a\cdot b\in P\). Luego se complementan con las siguientes definiciones:
\(a < b\) si y sólo si \(a-b\in P\);
\(a < b\) si y sólo si \(b>a\);
\(a ≥ b\) si y sólo si \(a>b\) o \(a=b\);
\(a\leq b\) si y sólo si \(a < b\) o \(a=b\).
Definición:
\(\bullet\) Un número complejo es una pareja ordenada (a, b), donde \(a,b\in \mathbb{R}\) y también solemos escribirlo como: \(a+bi\)
\(\bullet\) El conjunto de los números complejos es:
\(\lbrace a+bi\vert a,b\in\mathbb{R}\rbrace\)
\(\bullet\) La suma y la multiplicación en \(\mathbb{C}\) se define como:
\((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\)
\((a+bi)\cdot(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\), donde \(a,b,c,d\in\mathbb{R}\).
Podemos darnos cuenta, rápidamente, que \(\mathbb{R}\) es un subconjunto de \(\mathbb{C}\), pues si consideramos \(a\in \mathbb{R}\) podemos escribir este número como:
\(a+0i\)
el cual claramente pertenece a \(\mathbb{C}\). Aunque uno de los puntos clave es justamente que:
\(\sqrt{-1}=i\), por lo que:
\(i^{2}=-1\).
Si se realizan las operaciones teniendo en cuenta esto, entonces podemos deducir la fórmula del producto como bien sabemos o cualquier otra propiedad relacionada con los números complejos.
Teniendo en cuenta lo que hemos mencionado no es complicado comprobar que la suma y el producto en los números complejos cumplen las siguientes propiedades:
\(\bullet\) (Conmutatividad) Si \(\alpha, \beta\in \mathbb{C}\) entonces:
\(\alpha +\beta=\beta +\alpha\).
\(\bullet\) (Asociatividad) Si \(\alpha, \beta, \lambda\in \mathbb{C}\) entonces:
\((\alpha+\beta)+\lambda=\alpha+(\beta+\lambda)\) y \((\alpha\beta)\lambda=\alpha(\beta\lambda)\).
\(\bullet\) (Identidades) Si \(\lambda\in\mathbb{C}\) entonces:
\(\lambda+0=\lambda\)
\(\bullet\) (Inverso aditivo) Para todo \(\alpha\in \mathbb{C}\) existe un único \(\beta\in\mathbb{C}\) tal que:
\(\alpha+\beta=0\).
\(\bullet\) (Inverso multiplicativo) Para todo \(\alpha\in \mathbb{C}\) con \(\alpha\neq 0\), existe un único \(\beta\in \mathbb{C}\) tal que:
\(\alpha\beta=1\).
\(\bullet\) (Propiedad distributiva) Para todo \(\lambda, alpha, \beta\in \mathbb{C}\) se tiene que:
\(\lambda(\alpha+\beta)=\lambda\alpha+\lambda\beta\).
Estas propiedades se pueden demostrar sólo utilizando las propiedades de los números reales y las definiciones de la suma y multiplicación de los números complejos. En realidad es un ejercicio de rutina que se deja como ejercicio.
El objetivo no es profundizar demaciado en las propiedades de los números complejos o reales. Simplemente es recordar los aspectos importantes para introducirnos en el estudio de los espacios vectoriales. Luego, podemos definir los inversos aditivos y multiplicativos, en los números complejos. Para determinar la substracción y la división con números complejos. Veamos:
Definición (substracción y división en \(\mathbb{C}\)). Consideremos \(\alpha, \beta\in \mathbb{C}\).
\(\bullet\) \(-\alpha\) denota el inverso aditivo de \(\alpha\) y \(-\alpha\) es el únco complejo tal que:
\(\alpha+(-\alpha)=0\).
\(\bullet\) La substracción en \(\mathbb{C}\) está definida por:
\(\beta-\alpha=\beta+(-\alpha)\).
\(\bullet\) Para \(\alpha\neq 0\) tanto \(1/\alpha\) como \(\frac{1}{\alpha}\) denotan el inverso multiplicativo de \(\alpha\). \(\frac{1}{\alpha}\) es el único complejo tal que:
\(\alpha(\frac{1}{\alpha})=1\).
\(\bullet\) Para \(\alpha\neq 0\), la división, por \(\alpha\), queda definida por:
\(\frac{\beta}{\alpha}=\beta(\frac{1}{\alpha})\).
Definición. Si \(\alpha\in F\) y \(m\in \mathbb{Z}^{+}\), definimos \(\alpha^{m}\) como:
\(\alpha^{m}=\alpha\cdots\alpha\) (m veces).
En base a esta definición podemos probar el resultado que siguen.
Proposición. Si \(F\) es un campo y \(\alpha\in F\), \(m\in \mathbb{Z}^{+}\) entonces se cumle lo siguiente:
a) \((\alpha^{m})^{n}=\alpha^{mn}\) y
b) \((\alpha\beta)^{m}=\alpha^{m}\beta^{n}\).
Definición. Si \(n\in \mathbb{Z}^{+}\), definimos una n-tupla o n-ada como una secuencia ordenada finita de n elementos. Diremos que dos n-adas son iguales si son iguales elemento a elemento.
\(\overline{x}=(x_{1}, ..., x_{n})\) y \(x_{i}\in \mathbb{R}\) para todo \(i\in \lbrace 1, 2, ..., n\rbrace\). En ocaciones dicha n-ada se suele denotar por:
\((x_{i})_{i=1}^{n}\),
en analogía con el ejemplo, que acabamos de comentar, podemos dar la siguiente definición.
Definición. Si \(F\) es un campo entonces \(F^{n}\) es el conjunto de todas las n-adas de elementos de \(F\):
\(F^{n}=\lbrace (x_{1}, ..., x_{n})\vert x_{i}\in F\) para todo \(i=1, ..., n\rbrace\).
Para \((x_{1}, ..., x_{n})\in F^{n}\) e \(i\in\lbrace 1, ..., n\rbrace\) decimos que \(x_{i}\) es la \(i\)-ésima coordenada de \((x_{1}, ..., x_{n})\).
Para cualestuier \(\overline{x}, \overline{y}\in F^{n}\) tenemos que:
\(\overline{x}+\overline{y}=(x_{1}, ..., x_{n})+(y_{1}, ..., y_{n})=(x_{1}+y_{1}, ..., x_{n}+y_{n})\).
Con esto en mente consideremos la siguiente:
Proposición. Si \(\overline{x}, \overline{y}\in F^{n}\) entonces \(\overline{x}+\overline{y}=\overline{y}+\overline{x}\).
Demostración:
Para demostrar esto simplemente consideramos las n-adas correspondientes y realizamos operaciones entrada a entrada. Veamos.
Si \(\overline{x}, \overline{y}\in F^{n}\) entonces \(\overline{x}=(x_{1}, ..., x_{n})\) y \(\overline{y}=(y_{1}, ..., y_{n})\), por lo tanto:
\(\overline{x}+\overline{y}=(x_{1}, ..., x_{n})+(y_{1}, ..., y_{n})\)
\(=(x_{1}+y_{1}, ..., x_{n}+y_{n}) =(y_{1}+x_{1}, ..., y_{n}+x_{n})\),
esto es porque la propiedad conmutativa del campo \(F\) se utiliza entrada a entrada, luego:
\((y_{1}+x_{1}, ..., y_{n}+x_{n})=(y_{1}, ..., y_{n})+(x_{1}, ..., x_{n})=\overline{y}+\overline{x}\).
Por lo tanto \(\overline{x}+\overline{y}=\overline{y}+\overline{x}\).
\(\blacksquare\)
Conforme a las ideas que hemos estado comentando no es difícil darse cuenta que \(0_{F^{n}}=(0, ..., 0)\) y que éste funciona como el neutro en \(F^{n}\), es decir, para cualesquiera \(\overline{x}\in F^{n}\) se tiene que:
\(\overline{x}+0_{F^{n}}=0_{F^{n}}+\overline{x}=\overline{x}\).
Desde luego que \(0_{F^{n}}\neq 0\), uno es la n-ada de puros ceros y el otro es el escalar cero, el número cero. Más adelante también será necesario considerar este detalle cuando trabajemos en espacios vectoriales.
Veremos un par de definiciones más.
Definición. Para todo \(\overline{x}\in F^{n}\), el inverso aditivo de \(\overline{x}\), denotado por \(-\overline{x}\), es \(-\overline{x}\in F^{n}\), tal que
\(\overline{x}+(-\overline{x})=0\).
Por lo tanto si \(\overline{x}=(x_{1}, ..., x_{n})\), entonces \(-\overline{x}=(-x_{1}, ..., -x_{n})\).
Definición. El producto de un número (escalar) \(\lambda\in F\) y \(\overline{x}\in F^{n}\) se calcula mulltiplicando cada coordenada de \(\overline{x}\) por \(\lambda\);
\(\lambda\overline{x}=\lambda(x_{1}, ..., x_{n})=(\lambda x_{1}, ..., \lambda x_{n})\).
Por último podemos considerar un ejemplo básico, en \(\mathbb{R}^{2}, de lo que la multiplicación por escalar le hace a un vector.
Ejemplo. Si consideramos \(\overline{x}\in \mathbb{R}^{2}\) y \(\lambda\in \mathbb{R}\) tal que \(\lambda>0\) entonces
\(\lambda \overline{x}\) es un vector que apunta en la misma dirección que \(\overline{x}\) pero que tiene longitud \(\lambda\) veces la longitud de \(\overline{x}\). En otras palabras, tomar \(\lambda\overline{x}\) significa enconger o alargar a \(\overline{x}\) por un factor \(\lambda\), dependiendo si
\(\lambda < 1\) o si \(\lambda >1\).
Si \(\lambda<0\) entonces \(\lambda\overline{x}\) es un vector que apunta en la dirección opuesta que \(\overline{x}\) y cuya longitud es \(\vert\lambda\vert\)-veces la longitud de \(\overline{x}\).
\(\spadesuit\)
Pequeña disgresión en campos
Un campo, en general, es un conjunto que tiene al menos dos elementos distintos llamados \(0\) y \(1\), junto con sus operaciones de suma y producto que deben de satisfacer la lista de las nueve propiedaes que dimos al inicio de esta entrada. Entonces, como sabemos, \(\mathbb{R}\) y \(\mathbb{C}\), son campos al igual que \(\mathbb{Q}\) con la suma y el producto habituales.
Otro ejemplo, no tan habitual, pero que no es complicado considerar es el conjunto \(\lbrace 1, 0\rbrace\) junto con las operaciones usuales de suma y producto excepto cuanto se tiene \(1+1\) que se define como \(0\) para que se cumplan las nueve propiedades de campo.
En el material que aquí consideraremos habitualmente trataremos con \(\mathbb{R}\) y \(\mathbb{C}\). Por otra parte muchas de las definiciones, teoremas y pruebas en el álgebra lineal que se ven, también funcionan en otros campos sin cambios.
En general cuando hablemos de un campo \(F\) estaremos pensando en \(\mathbb{R}\) o \(\mathbb{C}\). Por otro lado en algunos campos se puede cumplir también que \(1+1\neq 0\), en este caso se dice que la característica del campo es distinta de dos.
En general se dice que la característica de un campo no es cero si se trata de un campo donde la suma de \(1\) consigo mismo un cierto número de veces (la característica) resulta en \(0\) y ese número es mayor que 1. En contraste, un campo de característica cero (como los números reales) nunca llega a cero al sumar \(1\) repetidamente.
\(\clubsuit\)
Ejercicios
1. Muestra que \((\overline{x}+\overline{y})+\overline{z}=\overline{x}+(\overline{y}+\overline{z})\) para todo \(\overline{x}, \overline{y}, \overline{z}\in F^{n}\).
2. Muestra que \((a\cdot b)\overline{x}=a(b\overline{x})\) para todo \(\overline{x}\in F^{n}\) y para todo \(a, b\in F\).
3. Muestra que \(1\overline{x}=\overline{x}\) para todo \(\overline{x}\in F^{n}\).
4. Muestra que \(\lambda(\overline{x}+\overline{y}=\lambda\overline{x}+\lambda\overline{y}\) para todo \(\lambda\in F\) y para todo \(\overline{x}, \overline{y}\in F^{n}\).
5. Muestra que \((a+b)\overline{x}=a\overline{x}+b\overline{x}\) para todo \(a, b\in F\) y para todo \(\overline{x}\in F^{n}\).
6. Encuentra \(\overline{x}\in \mathbb{R}^{5}\) tal que:
\((4, 2, -1, 5, 7)+-1\overline{x}=(0, -7, 2, 3, -1)\).
7. Demuestra la proposición que quedo pendiente en esta entrada: Si \(F\) es un campo y \(\alpha\in F\), \(m\in \mathbb{Z}^{+}\) entonces se cumle lo siguiente:
a) \((\alpha^{m})^{n}=\alpha^{mn}\) y
b) \((\alpha\beta)^{m}=\alpha^{m}\beta^{n}\).
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