Multiplicación de matrices
En general si \(A\) y \(B\) son dos matrices entonces su producto \(A\cdot B\) estará bien determinado si:
El número de columnas de, la primer matriz a multiplicar A, coincide con el número de renglones de la segunda matriz a multiplicar, es decir B.
El elemento que se encuentra en la posición correspondiente al renglón i y la columna j, de la matriz producto \(A\cdot B\), se obtiene sumando los productos de los elementos del renglón i de la matriz de la matriz \(A\) por sus elementos correspondientes en la columna j de la matriz \(B\).
Si \(A=\left[\begin{array}{cc}a_11&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots\\a_{i1}&a_{i2}&\cdots &a_{in}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{array}\right]\) y \(B=\left[\begin{array}{cc}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1j}&\cdots &b_{1ñ}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2j}&\cdots &b_{2ñ}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots\\b_{n1}&b_{n2}&\cdots &b_{nj}&\cdots &b_{nñ}\end{array}\right]\).
De tal manera que \(A\) tiene dimensión de \(m\times n\) y \(B\) tiene dimensiones de \(n\times ñ\) entonces el elemento que se encuentra en el renglón i y la columna j, de la matriz \(A\cdot B\), es:
\(p_{ij}=a_{i1}b_{ij}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{in}b_{nj}\)
lo que podemos expresar mediante la notación de suma como:
\(p_{ij}=\Sigma_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}\)
como ya lo habíamos visto.
Algo que vale la pena destacar es que la multiplicación de matrices, en general, no conmuta. Es decir, no puede establecerse que para cualesquiera dos matrices \(A\) y \(B\) se tenga que:
\(A\cdot B=B\cdot A\).
Luego también teniendo en cuenta que \(A\cdot B\) y \(B\cdot A\) son dos matrices diferentes, entonces, en muchas ocaciones, la multiplicación puede realizarse en un sentido, por ejemplo \(A\cdot B\), pero no en el otro, es decir \(B\cdot A\). En otros casos la multiplicación puede realizarse en los dos sentidos pero los resultados pueden ser diferentes o iguales dependiendo de las matrices que se estén tratando.
Si dos matrices \(A\) y \(B\) son tales que \(A\cdot B=B\cdot A\) se dice que son permutables o que conmutan.
Por ejemplo para las matrices \(A=\left[\begin{array}{cc}0&-1\\3&-1\end{array}\right]\) y \(B=\left[\begin{array}1&2\\3&4\end{array}\right]\) se tiene que:
\(AB=\left[\begin{array}{cc}-3&-4\\0&2\end{array}\right]\) y \(BA=\left[\begin{array}{cc}6&-3\\12&-7\end{array}\right]\). Por lo que \(A\) y \(B\) no son permutables. Por otra parte si \(A=\left[\begin{array}{cc}0&-1\\3&-1\end{array}\right]\) y \(C=\left[\begin{array}{cc}-3&1\\-3&-2\end{array}\right]\). Se tiene que:
\(AC=\left[\begin{array}{cc}3&2\\-6&5\end{array}\right]\) y \(CA=\left[\begin{array}{cc}3&2\\-6&5\end{array}\right]\).
De aquí vemos que \(A\) y \(C\) conmutan o son permutables, en general la multiplicación de matrices no conmuta. Veremos algunas propiedades importantes para el producto.
Teorema. Si \(A\in M_{m\times n}(F)\), \(B\in M_{n\times ñ}(F)\) y \(C\in M_{ñ\times l}(F)\), respectivamente, entonces:
\(A(BC)=(AB)C\).
Trabajemos un ejemplo para familiarizarnos con este resultado.
Ejemplo. Si \(A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\-1&0\end{array}\right]\), \(B=\left[\begin{array}{cc}-1&2&1\\3&1&0\end{array}\right]\) y \(C=\left[\begin{array}{cc}1&0\\-2&1\\3&-2\end{array}\right]\), obten los productos \(A(BC)\) y \((AB)C\).
Solución:
Se tiene que:
\(BC=\left[\begin{array}{cc}-1&2&1\\3&1&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1&0\\-2&1\\3&-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-2&0\\1&1\end{array}\right]\), por lo tanto:
\(A(BC)=\left[\begin{array}{cc}3&2\\-1&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-2&0\\1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-4&2\\2&0\end{array}\right]\).
Por otro lado se tiene que:
\(AB=\left[\begin{array}{cc}3&2\\-1&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-1&2&1\\3&1&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3&8&3\\1&-2&-1\end{array}\right]\),
luego:
\((AB)C=\left[\begin{array}{cc}3&8&3\\1&-2&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1&0\\-2&1\\3&-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-4&2\\2&0\end{array}\right]\),
por lo tanto:
\(A(BC)=(AB)C\).
\(\spadesuit\)
El siguiente resultado, que tiene que ver con multiplicación de matrices, nos da la idea de una distributividad, siempre y cuando tenga sentido la multiplicación. Se muestra sin demostración, porque, como ya se mencionó, la idea es que este material sea más de tipo práctico. Para comprobarlo, numéricamente, basta considerar cualesquier matrices que cumplan con las hipótesis que menciona el teorema.
Teorema. Si \(A, D, E\in M_{m,n}(F)\) y \(B, C, F\in M_{n,l}(F)\), entonces:
a) \(A(B+C)=AB+BC\)
b) \((D+E)F=DF+EF\)
Por útlimo, pero no menos importante, consideraremos el concepto de matriz identidad.
La matriz identidad es una matriz cuadrada de orden n de tal manera que tiene la forma:
\(\left[\begin{array}{cc}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\ \cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot\\0&0&0&\cdots &1\end{array}\right]\)
Esta matriz sólo está coformada por unos y ceros. En la diagonal todas sus entradas son uno y fuera de la diagonal todas sus entradas con cero. Con esto en mente podemos dar la siguiente:
Definición. Denotaremos por \(I_{n}\) a la matriz cuadrada de n \(\times\) n, definida como sigue:
\(I_{n}=[\delta_{ij}]\), tal que:
\(\delta_{ij}=1\), si \(i=j\)
y
\(\delta_{ij}=0\), si \(i\neq j\).
A \(\delta_{ij}\) se le conoce como delta de Kronecker.
La matriz identidad es el elemento identidad para la multiplicación.
Podemos ver que:
\(I_{3}A=\left[\begin{array}{cc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3&-1&0\\2&-2&3\\1&-1&-1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3&-1&0\\2&-2&3\\1&-1&-1\end{array}\right]\) y
\(AI_{3}=\left[\begin{array}{cc}3&-1&0\\2&-2&3\\1&-1&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3&-1&0\\2&-2&3\\1&-1&-1\end{array}\right]\), luego:
\(I_{3}A=AI_{3}=A\).
\(\spadesuit\)
Ejemplo. Consideremos la matriz \(A=\left[\begin{array}{cc}-3&1\\2&-4\\5&0\end{array}\right]\), entonces:
\(I_{3}A=\left[\begin{array}{cc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-3&1\\2&-4\\5&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-3&1\\2&-4\\5&0\end{array}\right]\) y por otra parte:
\(AI_{2}=\left[\begin{array}{cc}-3&1\\2&-4\\5&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-3&1\\2&-4\\5&0\end{array}\right]\).
Notemos que la matriz \(A\) no es una matriz cuadrada, sino una matriz rectangular, entonces para que la multiplicación, por la identidad, tuviera sentido, debimos multiplicar por \(I_{3}\) en un caso y por \(I_{2}\) en el otro caso.
\(\spadesuit\)
En esta parte vale hace hincapie en el hecho de que en el primer ejemplo, de multiplicación por la identidad, multiplicamos por \(I_{3}\) en ambos casos pues se trato de una matriz cuadrada, en el segundo caso multiplicamos por \(I_{3}\) y por \(I_{2}\) para que tuviera sentido la multiplicación. Es necesario ir teniendo en cuenta estos detalles pues por ejemplo, más adelante, consideraremos la inversa de una matriz pero notaremos que esto sólo tiene sentido en el caso de las matrices cuadradas. En el caso de las matrices rectangulares no, para tener claras las ideas sólo basta pensar en lo que comentamos de la identidad y la multiplicación por un lado y por otro lado
\(\clubsuit\).
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