En la entrada anterior trabajamos la idea de espacio vectorial, vimos algunos ejemplos y consideramos resultados básicos de utilidad para comprender ciertos aspectos.
En esta entrada trabajaremos la idea de subespacio vectorial. Con ésta podremos ampliar nuestro estudio.
Definición. Si \(V_{F}\) es un espacio vectorial sobre un campo \(F\) y \(U\subseteq V\), decimos que \(U\) es un subespacio vectorial de \(V\) si \(U\) es un espacio vectorial con la misma suma vectorial de \(V\) y el mismo producto por escalar de \(V\).
En algunas ocaciones también se dice que \(U\) es un subespacio lineal, que significa lo mismo que subespacio vectorial.
No es complicado imaginarse que si pretendemos comprobar que un subconjunto, de un espacio vectorial, es un subespacio vectorial, podemos comprobar si, en ese subconjunto junto con la misma suma y producto por escalar del espacio, cumple todas las propiedades de espacio vectorial, sin embargo la siguiente proposición, demostrada en clase, nos permite ver que hay un camino más sencillo para comprobar esto Recordemos.
Proposición. Sea \(V_{F}\) y \(U\subseteq V\), entonces \(U\) es un subespacio vectorial de \(V\) si y sólo si \(U\) satisface las siguientes condiciones:
a) Si \(u, v\in U\) entonces \(u+v\in U\).
b) Si \(\alpha\in F\) y \(u\in U\) entonces \(\alpha u\in U\).
c) \(0_{V}\in U\).
Ejemplo. Podemos considerar a \(\mathbb{R}^{2}\) como espacio vectorial sobre el campo \(\mathbb{R}\), en este caso:
\(\mathbb{R}^{2}=\lbrace (a, b) \vert a, b\in \mathbb{R}\rbrace\),
luego:
\(\bullet\) \(\lbrace (a, 0) \vert a\in \mathbb{R}\rbrace\) es un subespacio vectorial de \(\mathbb{R}^{2}\).
\(\bullet\) \(\lbrace (a, a)\vert a\in \mathbb{R}\rbrace\) es un subespacio vectorial de \(\mathbb{R}^{2}\).
\(\spadesuit\)
Ejemplo. Si \(F\) es un campo y \(\beta\in F\) entonces:
\(\lbrace (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})\in F^{4}\vert x_{2}=5x_{3}+\beta\rbrace\) es un subespacio vectorial de \(F^{4}\) si y sólo si \(\beta=0\).
\(\spadesuit\)
Ejemplo. Sabemos que \(\mathbb{R}^{[0, 1]}\), el conjunto de todas las funciones de \([0, 1]\) en \(\mathbb{R}\) junto con la suma habitual de funciones y el producto por escalar, es un espacio vectorial, en este caso si:
\(C^{[0, 1]}\) denota al subconjunto de \(\mathbb{R}^{[0, 1]}\) de las funciones continuas de \([0, 1]\) en \(\mathbb{R}\) entonces, éste, es un subespacio, de \(\mathbb{R}^{[0, 1]}\), junto con la suma habitual de funciones y el producto por escalar.
\(\spadesuit\)
Ejemplo. Uno de los ejemplos básicos, de subespacios vectoriales, es el siguiente: Si \(V_{F}\) es un espacio vectorial sobre un campo \(F\) entonces \(V\) y \(\lbrace 0_{V}\) son subespacios obvios de \(V\). A \(V\) visto como subespacio de \(V\) se le suele llamar subespacio vectorial impropio y a \(\lbrace 0_{V}\lbrace\) se le suele llamar subespacio vectorial trivial de \(V\).
\(\spadesuit\)
Ejemplos importantes de subespacios vectoriales son relativos a la unión y la intersección de subespacios vectoriales. Veamos.
Ejemplo. Sea \(V_{F}\) y \(\mathcal{F}=\lbrace W\subseteq V\vert W\) es subespacio de \(V\) \(\rbrace\) entonces \(\Omega= \cap_{W\in \mathcal{F}}\) es un subespacio de \(V\). Para comprobar esto debemos considerar tres aspectos, como ya vimos.
1. \(\Omega\) debe ser cerrado bajo suma vectorial.
Si \(u, v\in \Omega\) entonces \(u, v\in W\) para todo \(W\in \mathcal{F}\), luego
\(u+v\in W\) para todo \(W\in \mathcal{F}\), es decir que \(u+v\in \Omega\).
2. \(\Omega\) debe ser cerrado bajo multiplicación por escalar.
Si \(u\in \Omega\) entonces \(u\in W\) para todo \(W\in \mathcal{F}\) y si \(\alpha\in F\), entonces
\(\alpha u\in W\) para todo \(W\in \mathcal{F}\), luego: \(\alpha u\in \Omega\).
3. \(\Omega\) debe tener a \(0_{V}\).
Se tiene que \(0_{V}\in W\) para todo \(W\mathcal{F}\) es decir \(0_{V}\in \Omega\).
Entonces podemos concluir que \(\Omega\) es subespacio vectorial (por una proposición anterior que ya demostramos) de \(V\).
\(\spadesuit\)
En general, en el caso de la unión, esto no es cierto, es decir que si tenemos dos o más subespacios vectoriales de un espacio vectorial entonces no necesariamente su unión volvera a ser un subespacio vectorial del espacio vectorial original.
Ejemplo. Consideremos \(\mathbb{R}^{2}\), este conjunto con la suma habitual de vectores y el producto por escalar, es un espacio vectorial. Podemos considerar los conjuntos:
\(\mathbb{R}_{1}=\lbrace (a, 0)\in \mathbb{R}^{2}\vert a\in \mathbb{R}\rbrace\) (el eje x) y
\(\mathbb{R}_{2}=\lbrace (0, b)\in \mathbb{R}^{2}\vert b\in \mathbb{R}\rbrace\) (el eje y),
estos conjuntos resultan ser subespacios vectoriales de \(\mathbb{R}^{2}\) considerados con la misma suma vectorial y el producto escalar definido en \(\mathbb{R}^{2}\), pero por ejemplo:
\((1, 0)\in \mathbb{R}_{1}\), \((0, 1)\in \mathbb{R}_{2}\) y \((1, 0)+(0, 1)= (1, 1)\notin \mathbb{R}_{1}\cup\mathbb{R}_{2}\).
Luego, vemos que la unión de subespacios vectoriales no necesariamente es un subespacio. Nota que su unión es sólo la cruz que forman los ejes x y y.
\(\spadesuit\)
Sin embargo no todo está perdido a este respecto, pues podremos considerar un nuevo concepto. El de suma y suma directa de subespacios vectoriales.
Sumas y sumas directas de subespacios vectoriales
Definición. Sea \(V_{F}\) y \(V_{1}, ..., V_{n}\) subespacios vectoriales de \(V\), la suma de \(V_{1}, ..., V_{n}\) denotada por
\(V_{1}+...+V_{n}\) o \(\Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\)
es el conjunto de todas los elementos de la forma:
\(v_{1}+\cdots +v_{n}\) tales que \(v_{i}\in V_{i}\) con \(i\in \lbrace 1, ..., n\rbrace\). Es decir:
\(\Sigma_{i=1}^{n}V_{i}=\lbrace \Sigma_{i=1}^{n}v_{i}\vert v_{i}\in V_{i}\) con \(i=1, ..., n\rbrace\).
Ejemplo. Teniendo en cuenta este concepto resulta que \(\mathbb{R}^{2}=\mathbb{R}_{1}\)+\mathbb{R}_{2}\). Lo cual implica inmediatamente que
\(\mathbb{R}_{1}+\mathbb{R}_{2}\) es subespacio vectorial de \(\mathbb{R}\).
\(\spadesuit\)
Proposición. Si \(V_{F}\) es un espacio vectorial sobre el campo \(F\) y \(V_{1}, ..., V_{n}\) son subespacios de \(V\) entonces
\(V_{1}+\cdots V_{n}\)
es el menor subespacio vectorial de \(V\) que contiene a \(V_{1}, ..., V_{n}\).
Demostración:
Primero debemos comprobar que, en efecto, \(\Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\) es un subespacio vectorial de \(V\).
i) Si \(u, v\in \Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\) entonces:
\(u=v_{1}+\cdots +v_{n}\) y \(u=v'_{1}+\cdots +v'_{n}\), luego:
\(u+v=v_{1}+v'_{1}+\cdots v_{n}+v'_{n}\), donde, \(v_{i}+v'_{i}\in V_{i}\) para todo \(i=1, ..., n\), luego:
\(u+v\in \Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\).
ii) Si \(\alpha\in F\) y \(u\in \Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\) entonces:
\(\alpha u=\alpha(v_{1}+\cdots +v_{n})=\alpha v_{1}+\dots+\alpha v_{n}\in \Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\).
iii) \(0_{V}\in\Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\) pues \(0_{V}=0_{V}+\cdots 0_{V}\) tal que
\(0_{V}\in V_{1}, ..., 0_{V}\in V_{n}\).
Con esto queda demostrado que \(\Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\) es subespacio vectorial de \(V\).
Para comprobar que es el menor subespacio vectorial de \(V\) que contiene a \(V_{1}, ..., V_{n}\) debemos probar dos cosas, en primer lugar que contiene a todos los \(V_{i}'s\) y en segundo lugar que si existe otro subespacio vectorial, de \(V\), que contenga a los \(V_{i}'s\) entonces debe contener a \(\Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\). Veamos.
i) Si \(u\in V_{1}\) entonces podemos considerar:
\(u=v_{1}+0_{V}+\cdots +0_{V}\), luego \(u\in \Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\), es decir que
\(V_{1}\in \Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\), así nos podemos ir hasta n.
Si \(u\in V_{n}\) entonces podemos considerar:
\(u=0_{V}+0_{V}+\cdots+v_{n}\), luego \(u\in \Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\), es decir que
\(V_{n}\in \Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\). Luego:
\(V_{1}\in \Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\), ..., \(V_{n}\in \Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\), es decir que \(\Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\) contiene a todos los \(V_{i}'s\).
Supongamos, ahora que existe un subespacio vectorial de \(V\), llamado \(W\) tal que:
\(V_{1}\in W\), ..., \(V_{n}\in W\) entonces:
si \(u\in \Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\) se tiene que:
\(u=v_{1}+\cdots+v_{n}\), puesto que \(V_{1}\in W\), ..., \(V_{n}\in W\) entonces:
\(v_{1}+\cdots+v_{n}\in W\), luego \(u\in \Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\). Es decir que:
\(\Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\subseteq W\).
\(\spadesuit\)
En álgebra lineal se tiene que la suma de subespacios es el análogo a las uniones de subconjuntos en la teoría de conjuntos.
Dados dos subespacios de un espacio vectorial, el subespacio más pequeño que los contiene es justamente la suma. Análogamente, en teoría de conjuntos, si tenemos dos subconjuntos de un conjunto el menor subconjunto que los contiene es su unión.
Sumas directas
Ya estudiamos las sumas de subespacios vectoriales de un espacio vectorial, sin embargo centraremos, generalmente, nuestra atención en los casos en los cuales cada vector en \(\Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\) puede ser representado de manera única. Dado que esto es, en cierto sentido, una situación especial entonces adquirirá el nombre de suma directa.
Definición. Si \(V_{F}\) y \(V_{1}, ..., V_{n}\) son subespacios vectoriales de un espacio vectorial \(V\) entonces:
\(\Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\) se llama suma directa si cada elementos de \(\Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\) se puede escribir de forma única como la suma:
\(v_{1}+ \cdots+v_{n}\) tal que \(v_{i}\in V_{i}\) con \(i=1, ..., n\).
Si \(V_{1}+\cdots+V_{n}\) es una suma directa de subespacios vectoriales de \(V\) entonces lo denotaremos por:
\(V_{1}\oplus, ...\oplus V_{n}\) o \(\bigoplus_{i=1}^{n}V_{i}\) en vez de sólo \(V_{1}+\cdots+V_{n}\) o \(\Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\).
Ejemplo. Fácilmente podemos ver que:
\(\mathbb{R}_{1}\oplus\mathbb{R}_{2}=\mathbb{R}^{2}\).
\(\spadesuit\)
Ejemplo. Podemos considerar a \(F^{n}\) como espacio vectorial sobre \(F\) si \(V_{i}\) es un subespacio de \(F^{n}\) cuyos elementos tienen cero en todas las coordenadas, excepto en la i-ésima coordenada entonces su suma directa es \(F^{n}\). Veamos.
\(V_{1}=\lbrace (x, 0, ..., 0)\in F^{n}\vert x\in F\rbrace\),
\(V_{2}=\lbrace (0, x, ..., 0)\in F^{n}\vert x\in F\rbrace\),
\(\vdots\)
\(V_{n}=\lbrace (0, 0, ..., x)\in F^{n}\vert x\in F\rbrace\).
Luego:
\(F^{n}=V_{1}\oplus, ..., \oplus V_{n}\).
\(\spadesuit\)
La definición de suma directa nos pide que todo vector se pueda representar de manera única en la suma, el siguiente resultado que veremos nos facilitará un poco el trabajo en lo que sigue.
Proposición. Sea \(V_{F}\) y \(V_{1}, ..., V_{n}\) subespacios vectoriales de \(V\), entonces
\(V_{1}+\cdots +V_{n}\) es una suma directa si y sólo si la única manera de escribir a \(0_{V}\) como una suma:
\(v_{1}+\cdots+v_{n}\),
es tomando cada \(v_{i}\) igual a \(0_{V}\).
Demostración:
\(\Rightarrow\rfloor\)
Supongamos que \(0_{V}=v_{1}+\cdots +v_{n}\) con \(v_{i}\in V_{i}\), es decir que:
\(0_{V}\in \Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\) pero por hipótesis se tiene que:
\(\Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\) es una suma directa, luego \(0_{V}\) se puede escribir de manera única como:
\(0_{V}+\cdots+0_{V}\), de donde:
\(v_{1}=0_{V}, \cdots, v_{n}=0_{V}\).
\(\Leftarrow\rfloor\)
Consideremos \(v\in \Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\) y supongamos que:
\(v=v_{1}+\cdots+v_{n}\) con \(v_{i}\in V_{i}\), \(i\in \lbrace 1, ..., n\rbrace\)
y que también se tiene que:
\(v=u_{1}+\cdots+u_{n}\) con \(u_{i}\in V_{i}\), \(i\in \lbrace 1, ..., n\rbrace\).
Por otra parte: \(0_{V}=v-v=v_{1}-u_{1}+\cdots+v_{n}-u_{n}\), luego:
\(v_{1}-u_{1}+\cdots+v_{n}-u_{n}=0_{V}\), como por hipótesis \(0_{V}\) se puede escribir de manera única como:
\(w_{1}+\cdots+w_{n}\) donde \(w_{i}=0\) para todo \(i\in lbrace 1, ..., n\rbrace\), entonces:
\(v_{1}-u_{1}=0_{V}, \cdots v_{n}-u_{n}=0_{V}\), de donde:
\(v_{1}=u_{1}\), ..., \(v_{n}=u_{n}\) para todo \(i\in \lbrace 1, ..., n\rbrace\) y así hemos comprobado que \(v\in\Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\) se escribe de manera única. Luego:
\(\Sigma_{i=1}^{n}V_{i}\)
es una suma directa.
\(\blacksquare\)
Por último veremos un resultado que nos permitira, en la mayoría de casos de manera un poco más práctica, determinar cuando dos subespacios, de un espacio vectorial, son una suma directa. Veamos.
Proposición. Sea \(V_{F}\) y \(U, W\) subespacios vectoriales de \(V\), entonces:
\(U+ W\) es una suma directa si y sólo si \(U\cap W=\lbrace 0_{V}\rbrace\).
Demostración:
\(\Rightarrow\rfloor\)
Puesto que \(U\) y \(W\) son subespacios de \(V\) entonces ambos tienen a \(0_{V}\), luego, es fácil ver que:
\(\lbrace 0_{V}\rbrace\subseteq U\cap W\).
Para ver la otra contención consideremos \(v\in U\cap W\), entonces \(v\in U\) y \(v\in W\). Por otro lado:
\(-v\in W\),
luego notemos que \(0_{V}=v+(-v)\), con \(v\in U\) y \(-v\in W\), pero por hipótesis \(U+W\) es una suma directa, entonces como tendríamos que \(0_{V}\in U+W\) (porque \(v\in U\) y \(-v\in W\)) y \(0_{V}\) se escribe de manera única, luego:
\(v=0_{V}\), por lo tanto \(v\in \lbrace 0_{V}\rbrace\), entonces: \(U\cap W\subseteq \lbrace 0_{V}\rbrace\). De esta manera tenemos la igualdad:
\(U\cap W=\lbrace 0_{V}\rbrace\).
\(\Leftarrow\rfloor\)
Consideremos \(u\in U\) y \(w\in W\) de tal manera que:
\(u+w=0_{V}\), entonces: \(u=-w\), como \(-w\in W\) se tiene que:
\(u\in W\), por lo que \(u\in U\cap W=\lbrace 0_{V}\rbrace\) es decir que: \(u=0_{V}\) y por lo tanto \(w=0_{V}\), por lo que \(0_{V}\) se puede escribir de manera única como suma de ceros. Por la proposición anterior esto implica que:
\(U+V\) es una suma directa.
\(\blacksquare\)
Ejercicios.
1. Demuestra que si \(V_{F}\) es un espacio vectorial sobre un campo \(F\), \(U\) y \(W\) subespacios de \(V\) entonces \(U\cup W\) es un subespacio vectorial de \(V\) si y sólo si \(U\subseteq W\) o \(W\subseteq U\).
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