Ya hemos hablado de espacios vectoriales y de subespacios vectoriales, además de sumas y sumas directas de subespacios y trabajamos con estos conceptos de los que dimos ciertos resultados. También sabemos y vimos vectores en general.
En esta entrada trabajaremos principalmente con la idea de combinación lineal, dependencia e independencia lineal de vectores de un espacio vectorial.
Definición. Si \(V\) es un espacio vectorial sobre un campo \(F\) y \(v_{1}, ..., v_{n}\) vectores de \(V\), decimos que una combinación lineal de los vectores \(v_{1}, ..., v_{n}\) es un vector de la forma:
\(\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{n}v_{n}\)
donde \(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}\in F\)
Ejemplo. Sabemos que \(\mathbb{R}^{3}\) es un espacio vectorial sobre \(\mathbb{R}\), luego, tenemos que \((2, 1, -3), (1, -2, 4)\in \mathbb{R}^{3}\), en este caso:
\((17, -4, 2)=6(2, 1, -3)+5(1, -2, 4)\)
es una combinación lineal de \((2, 1, -3)\) y de \((1, -2, 4)\) pues existen escalares (en este caso 6 y 5) que hacen que se cumpla tal resultado.
Sin embargo el vector \((17, -4, 5)\) no es una combinación lineal de \((2, 1, -3)\) y de \((1, -2, 4)\) pues no existen escalares que puedan dar tal vector. Para ver esto debemos considerar el siguiente sistema de vectores:
\((17, -4, 5)=\alpha_{1}(2, 1, -3)+\alpha_{2}(1, -2, 4)\), de donde obtenemos que:
\(17=2\alpha_{1}+\alpha_{2}\)
\(-4=\alpha_{1}-2\alpha_{2}\)
\(5=-3\alpha_{1}+4\alpha_{2}\),
el cual es un sistema sin solución y por eso podemos decir que el vector.
\(\spadesuit\)
Definición. Si \(V_{F}\) es un espacio vectorial sobre un campo \(F\) y \(v_{1}, ..., v_{n}\in V\) un conjunto de vectores de \(V\), definimos por \(span(v_{1}, ..., v_{n})\) (o \(L(v_{1}, ..., v_{n})\)) al conjunto de todas las combinaciones lineales de \(v_{1}, \cdots, v_{n}\), es decir:
\(span(v_{1}, \cdots, v_{n})=\lbrace \alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{n}v_{n}\in V\) \(\vert\) \(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}\in F\rbrace\).
Por otro lado \(span(\emptyset):=\lbrace 0_{V}\rbrace\).
Proposición. Si \(V\) es un espacio vectorial sobre un campo \(F\) y \(v_{1}, \cdots, v_{n}\in V\) entonces \(span(v_{1}, \cdots, v_{n})\) es el menor subespacio vectorial de \(V\), en el sentido de la contención, que contiene a \(v_{1}, \cdots, v_{n}\).
Demostración:
En primer lugar veremos que \(span(v_{1},\cdots, v_{n})\) es un subespacio vectorial de \(V\). Una de las proposiciones anteriores nos dice que para comprobar esto debemos ver que se cumplen tres cosas: que \(span(v_{1}, \cdots, v_{n})\) tenga al vector cero de \(V\), que \(span(v_{1}, \cdots, v_{n})\) sea cerrado bajo suma vectorial y que \(span(v_{1}, \cdots, v_{n})\) sea cerrado bajo multiplicación por escalar. Veamos.
i) \(span(v_{1}, \cdots, v_{n})\) tiene al cero pues: \(0_{V}=0v_{1}+\cdots+0v_{n}\in span(v_{1}, \cdots, v_{n})\).
ii) Si \(u\in span(v_{1}, \cdots, v_{n})\) y \(v\in span(v_{1}, \cdots, v_{n})\) entonces:
\(u=\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{n}v_{n}\) y \(v=\beta_{1}v_{1}+\cdots+\beta_{n}v_{n}\),
luego:
\(u+v=(\alpha_{1}+\beta_{1})v_{1}+\cdots+(\alpha_{n}+\beta_{n})v_{n}\in span(v_{1}, \cdots, v_{n})\).
iii) Si \(v\in span(v_{1}, \cdots, v_{n})\) entonces: \(v=\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{n}v_{n}\), luego:
\(\alpha(v)=\alpha(\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{n}v_{n})=\alpha\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha\alpha_{n}v_{n}\in span(v_{1}, \cdots, v_{n})\). Esto demuestra que \(span(v_{1}, \cdots, v_{n})\) es un subespacio vectorial de \(V\).
Para comprobar que, en efecto, contiene a cada uno de los \(v_{i}'s\) podemos considerar lo siguiente:
\(v_{1}=1\cdot v_{1}+\cdots+0\cdot v_{n}\in span(v_{1}, \cdots, v_{n})\)
\(v_{2}=0\cdot v_{1}+1\cdot v_{2}+\cdots+0\cdot v_{n}\in span(v_{1}, \cdots, v_{n})\)
\(\vdots\)
\(v_{n}=0\cdot v_{1}+\cdots+1\cdot v_{n}\in span(v_{1}, \cdots, v_{n})\).
Y esto demuestra que tiene a cada \(v_{i}\) como elemento con \(i\in \lbrace 1, \cdots, n\rbrace\).
Por último si existe \(W\) subespacio vectorial de \(V\) tal que \(v_{1}, \cdots, v_{n}\in W\), en particular \(W\) debe contener cualquier combinación lineal de los vectores \(v_{1}, \cdots, v_{n}\), luego \(span(v_{1}, \cdots, v_{n})\subseteq W\).
\(\blacksquare\)
Definición. Si \(V\) es un espacio vectorial sobre un campo \(F\) y \(v_{1}, ..., v_{n}\) vectores de \(V\), diremos que \(v_{1}, ..., v_{n}\) genera \(V\) si
\(span(v_{1}, \cdots, v_{n})=V\).
Definición. Un espacio vectorial \(V\) se dice que es finito o dimensionalmente finito si tiene un subconjunto finito de vectores que lo genera.
Luego, un espacio vectorial se dice que es infinito o dimensionalmente infinito si no es dimensionalmente finito.
Independencia lineal
Sabemos que si \(V\) es un espacio vectorial sobre un campo \(F\), \(v_{1}, \cdots, v_{n}\in V\) y \(v\in span(v_{1}, \cdots, v_{n})\) entonces existen \(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}\in F\) tales que:
\(v=\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{n}v_{n}\) y supongamos que:
\(v=\beta_{1}v_{1}+\cdots+\beta_{n}v_{n}\), por lo tanto:
\(0_{V}=v-v=(\alpha_{1}-\beta_{1})v_{1}+\cdots+(\alpha_{n}-\beta_{n})v_{n}\), luego:
\(0_{V}=(\alpha_{1}-\beta_{1})v_{1}+\cdots+(\alpha_{n}-\beta_{n})v_{n}\), en este caso vemos que \(0_{V}\) se encuentra escrito como combinación lineal de \(v_{1}, ..., v_{n}\), en este caso, si la única manera de obtener \(0_{V}\) es poniendo \(0=\alpha_{1}-\beta_{1}=...=\alpha_{n}-\beta_{n}\) entonces tendríamos que la elección de escalares, en este caso, es única.
Consideremos esta idea y la siguiente definición.
Definición. Si \(V\) es un espacio vectorial sobre un campo \(F\) y \(v_{1}, ..., v_{n}\) vectores de \(V\), diremos que \(v_{1}, ..., v_{n}\) es un conjunto, de vectores de \(V\), linealmente independientes si siempre que:
\(\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{n}v_{n}=0_{V}\)
entonces: \(\alpha_{1}=...=\alpha_{n}=0\).
\(\emptyset\) se conviene en que es linealmente independiente.
En base a esta definición tendremos la siguiente:
Definición. Si \(V\) es un espacio vectorial sobre un campo \(F\) y \(v_{1}, ..., v_{n}\in V\), decimos que \(v_{1}, ..., v_{n}\) son linealmente dependientes si no son linealmente independientes, es decir, si siempre que: \(\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{n}v_{n}=0_{V}\) entonces existe algún \(\alpha_{i_{0}}\in \lbrace 1, ..., n\rbrace\) tal que \(\alpha_{i_{0}}\neq 0\) Consideremos algunos resultados que se derivan de las definiciones que hemos dado.
Proposición. Sea \(V_{F}\) y \(v_{1}, ..., v_{n}\in V\) entonces el conjunto de vectores \(v_{1}, ..., v_{n}\) es linealmente independiente si y sólo si cualquier vector en \(span(v_{1}, ..., v_{n})\) tiene una única representación lineal de los vectores \(v_{1}, ..., v_{n}\).
Demostración:
\(\Rightarrow\rfloor\)
Consideremos \(v\in span(v_{1}, ..., v_{n})\) entonces:
\(v=\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{n}v_{n}\) con \(\alpha_{i}\in F\), \(i\in \lbrace 1, ..., n\rbrace\).
Supongamos que \(v\) también se puede representar como:
\(v=\beta_{1}v_{1}+\cdots+\beta_{n}v_{n}\), luego:
\(0_{V}=v-v=(\alpha_{1}-\beta_{1})v_{1}+\cdots+(\alpha_{n}-\beta_{n})v_{n}\). Pero por hipótesis tenemos que \(v_{1}, ..., v_{n}\) son linealmente independientes, entonces:
\(\alpha_{1}-\beta_{1}=\cdots=\alpha_{n}-\beta_{n}=0\), luego:
\(\alpha_{1}=\beta_{1}, \cdots, \alpha_{n}=\beta_{n}\), es decir, que la representación de \(v\), en los vectores \(v_{1}, \cdots, v_{n}\), es única.
\(\Leftarrow\rfloor\)
Consideremos la siguiente combinación lineal de los vectores \(v_{1}, ..., v_{n}\):
\(0_{V}=\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{n}v_{n}\) con \(\alpha_{i}\in F\), \(i\in \lbrace 1, .., n\rbrace\). Luego, tengamos en cuenta lo siguiente:
\(0_{V}\in span(v_{1}, \cdots, v_{n})\) pues:
\(0_{V}=0\cdot v_{1}+\cdots+0\cdot v_{n}\),
por otra parte notemos que esta es una combinación lineal de los vectores \(v_{1}, ..., v_{n}\) igual al vector cero. Por hipótesis tenemos que esta representación es única, entonces:
\(\alpha_{1}=\cdots=\alpha_{n}=0\),
lo cual demuestra que \(v_{1}, ..., v_{n}\) es un conjunto, de vectores de \(V\), linealmente independiente.
\(\blacksquare\)
Proposición. Sea \(V_{F}\) y \(v_{1}, \cdots, v_{n}\) un subconjunto de vectores de \(V\). Si \(v_{1}, ..., v_{n}\) son linealmente independientes y quitamos \(m\) vectores \((m\leq n)\) de \(v_{1}, ..., v_{n}\), entonces el conjunto restante, de estos vectores, seguira siendo linealmente independiente.
Demostración:
Considermos el conjunto \(v_{1}, v_{2}, ..., v_{n}\) de vectores de \(V\) y supongamos que son linealmente independientes, justo como indica nuestra hipótesis. Entonces si:
\(\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{n}v_{n}=0_{V}\) se tiene que:
\(\alpha_{1}=\cdots=\alpha_{n}=0\). Por otra parte quitemos \(v_{1}, \cdots, v_{m}\), \(m\) vectores del conjunto original y consideremos el conjunto:
\(v_{m+1}, \cdots, v_{n}\), tomemos la siguiente combinación lineal:
\(\beta_{m+1}\cdot v_{m+1}+\cdots+\beta_{n}\cdot v_{n}=0_{V}\), tenemos que esto es igual a lo siguiente:
\(\alpha_{1}\cdot v_{1}+\cdots+\alpha_{m}\cdot v_{m}+\beta_{m+1}v_{m+1}+\cdots+\beta_{n}\cdot v_{n}=0_{V}\) (pues como \(\alpha_{1}=\cdots=\alpha_{n}=0\), en particular \(\alpha_{1}\cdot v_{1}+\cdots+\alpha_{m}\cdot v_{m}=0_{V}\), lo que explica la igualdad que pusimos al último).
Como \(v_{1}, \cdots, v_{n}\) son linealmente independientes, entonces:
\(\alpha_{1}=\cdots=\alpha_{m}=\beta_{m+1}=\cdots=\beta_{n}=0\) y queda demostrada la proposición.
\(\blacksquare\)
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