6.1. Inversa de una matriz, ejemplos concretos

 En alguna ocasión se mencionó que este blog está más enfocado a servir más como recurso didáctico y práctico, que como material riguroso, ya que la parte de profundización y demostraciones se dejaría casi por completo para las clases presenciales. Luego, en esta entrada se mencionarán algunos teoremas sin demostración, poniendo especial atención en ejercicios prácticos. 

Nos enfocaremos en encontrar la inversa de una matriz mediante el método de reducción gaussiana. Método que probablemente ya conozcas, pero aunque no sea así, no importa, aquí veremos paso a paso como utilizarlo para calcular la inversa de una matriz cuadrada. Porque hay que recordar que a las únicas matrices a las que tiene sentido, intentar determinar su inversa, son precisamente las matrices cuadradas.

Teorema. Las matrices elementales son no singulares.

Teorema. El producto de matrices elementales es una matriz no singular.

Aunque ya mencionamos que no recurriremos a multiplicar por matrices elementales, para realizar operaciones en las matrices que nos sean dadas, es necesario tener en cuenta los dos resultados que se muestran, pues estos justifican el porqué, cuando realizamos operaciones elementales, podemos llegar a la inversa de una matriz si es que esta existe. 

La razón fundamental por la que multiplicar por matrices elementales no altera la condición de invertibilidad de una matriz reside en que toda matriz elemental es invertible debido al primer teorema que mencionamos en esta entrada. Este hecho crucial asegura que cada paso de una transformación elemental es completamente reversible, manteniendo intacta la propiedad de poseer una inversa.

En lo que sigue veremos en acción el método de reducción gaussiana para encontrar la inversa de una matriz cuadrada dada.

Ejemplo.  Considera la matriz \(A=\left[\begin{array}{ccc}2&-2&6\\-1&1&5\\2&3&1\end{array}\right]\), determina si es invertible y de ser así, determina su inversa.

Solución:

Utilizaremos el método de reducción gaussiana para determinar si \(A\) tiene inversa y determinar su inversa si esta existe.

Para aplicar el método en primer lugar debemos considerar la matriz aumentada como sigue:

\(\left[\begin{array}{ccc|ccc}2&-2&6&1&0&0\\-1&1&5&0&1&0\\2&3&1&0&0&1\end{array}\right]\),

en la parte izquierda debemos poner nuestra matriz original, en la parte derecha la matriz identidad, luego debemos ir operando mediante operaciones elementales (intercambiar renglones, sumar múltiplos distintos de cero de unos renglones con otros o multiplicar renglones por constantes distintas de cero) hasta obtener del lado izquierdo, de la línea recta vertical, la matriz identidad. 

Si podemos realizar el proceso, sin problemas, entonces esto querrá decir que la matriz original es invertible y lo que obtengamos del derecho será la inversa de la matriz original. La idea en general es la siguiente: hacer 1 la entrada \(a_{11}\), luego hacer ceros las dos entradas debajo de esta entrada, es decir, las entradas \(a_{21}\) y \(a_{31}\). Luego hacer 1 la entrada \(a_{22}\) y ceros las entradas arriba y abajo de esta, es decir las entradas \(a_{12}\) y \(a_{32}\), por último hacer 1 la entrada \(a_{33}\) y ceros las entradas que se encuentran arriba de esta, es decir las entradas \(a_{23}\) y \(a_{13}\). No es necesario seguir el orden que se ha mencionado, pero es conveniente hacerlo así para no cometer errores en el proceso. Veamos:

\(\left[\begin{array}{ccc|ccc}2&-2&6&1&0&0\\-1&1&5&0&1&0\\2&3&1&0&0&1\end{array}\right]\) \(NR_{1}=\frac{1}{2}R_{1}\rightarrow\) \(\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&3&\frac{1}{2}&0&0\\-1&1&5&0&1&0\\2&3&1&0&0&1\end{array}\right]\),

(Recuerda que \(NR_{1}\) significa: nuevo renglón 1)

\(NR_{2}=R_{1}+R_{2}\rightarrow\) \(\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&3&\frac{1}{2}&0&0\\0&0&8&\frac{1}{2}&1&0\\2&3&1&0&0&1\end{array}\right]\),

\(R_{2}\leftrightarrow R_{3}\rightarrow\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&3&\frac{1}{2}&0&0\\2&3&1&0&0&1\\0&0&8&\frac{1}{2}&1&0\end{array}\right] NR_{2}=(\frac{1}{3})R_{2}\rightarrow \left[\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&3&\frac{1}{2}&0&0\\\frac{2}{3}&1&\frac{1}{3}&0&0&\frac{1}{3}\\0&0&8&\frac{1}{2}&1&0\end{array}\right]\)

\(NR_{2}=(-\frac{2}{3})R_{1}+R_{2}\rightarrow\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&3&\frac{1}{2}&0&0\\0&\frac{5}{3}&-\frac{5}{3}&-\frac{1}{3}&0&\frac{1}{3}\\0&0&8&\frac{1}{2}&1&0\end{array}\right]\),

\(NR_{2}=(\frac{3}{5})R_{2}\rightarrow\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&3&\frac{1}{2}&0&0\\0&1&-1&-\frac{1}{5}&0&\frac{1}{5}\\0&0&8&\frac{1}{2}&1&0\end{array}\right]\),

\(NR_{1}=R_{1}+R_{2}\rightarrow\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&2&\frac{3}{10}&0&\frac{1}{5}\\0&1&-1&-\frac{1}{5}&0&\frac{1}{5}\\0&0&8&\frac{1}{2}&1&0\end{array}\right]\),

\(NR_{3}=(\frac{1}{8})R_{3}\rightarrow\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&2&\frac{3}{10}&0&\frac{1}{5}\\0&1&-1&-\frac{1}{5}&0&\frac{1}{5}\\0&0&1&\frac{1}{16}&\frac{1}{8}&0\end{array}\right]\),

\(NR_{2}=R_{2}+R_{3}\rightarrow\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&2&\frac{3}{10}&0&\frac{1}{5}\\0&1&0&-\frac{11}{80}&\frac{1}{8}&\frac{1}{5}\\0&0&1&\frac{1}{16}&\frac{1}{8}&0\end{array}\right]\),

\(NR_{1}=(-2)R_{3}+R_{1}\rightarrow\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&\frac{7}{40}&-\frac{1}{4}&\frac{1}{5}\\0&1&0&-\frac{11}{80}&\frac{1}{8}&\frac{1}{5}\\0&0&1&\frac{1}{16}&\frac{1}{8}&0\end{array}\right]\),

como no tuvimos problemas en el proceso, para que nos quedara en el lado izquierdo la identidad, entonces podemos concluir que la matriz \(A\) es invertible y que su inversa es justo la matriz, \(A^{-1}\), que nos quedó del lado derecho de la línea vertical, es decir:

\(A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{7}{40}&-\frac{1}{4}&\frac{1}{5}\\-\frac{11}{80}&\frac{1}{8}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{16}&\frac{1}{8}&0\end{array}\right]\),

no es complicado comprobar que:

\(AA^{-1}=A^{-1}A=I_{3}\).

\(\spadesuit\)

El método que acabamos de ver en el ejemplo es uno de los más efectivos para determinar si una matriz tiene inversa y en caso de tenerla, determinarla. Antes de ver un ejemplo del caso en el que una matriz no tenga inversa, veremos un ejemplo con otro método que nos podría ayudar a determinar la inversa de una matriz.

Ejemplo. Consideremos la matriz \(A=\left[\begin{array}{cc}2&1\\-1&1\end{array}\right]\), determina si \(A\) tiene inversa y en caso de tenerla determínala. 

Solución:

Como queremos encontrar una matriz \(B\) tal que \(AB=BA=I_{2}\) entonces podemos plantear la situación como sigue:

\(\left[\begin{array}{cc}2&1\\-1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}   a & b\\c&d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]\), 

de esto obtenemos el sistema:

\(\begin{array}{cc}2a+c=1&2b+d=0\\-a+c=0&-b+d=1\end{array}\),

si la solución de este sistema existe, entonces podremos concluir que \(A\) es invertible, sin embargo, si la solución de este sistema no existe, entonces podremos concluir que la matriz \(A\) no es invertible.

Resolviendo el sistema (por el método que más te guste) obtenemos que:

\(a=\frac{1}{3}; b=-\frac{1}{3};c=\frac{1}{3};d=\frac{2}{3}\), entonces:

\(B=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{array}\right]\),

es sencillo comprobar que \(AB=BA=I_{2}\).

\(\spadesuit\)

En este segundo ejemplo vimos otro método para comprobar si una matriz es o no invertible y en todo caso determinar su inversa. Sin embargo, podemos intuir que este procedimiento se complica si consideramos matrices de mayor orden. Aunque tiene la ventaja de que podemos concluir si una matriz tiene o no inversa, con base en que el sistema tenga o no solución.

Veamos un ejemplo más, en este caso, de una matriz que no tenga inversa y como concluirlo mediante reducción gaussiana.

Ejemplo.  Considera la matriz \(A=\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\7&8&9\\2&4&6\end{array}\right]\), determina si tiene inversa, de ser así, encuéntrala.

Solución:

Comencemos por considerar la matriz aumentada:

\(\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\7&8&9&0&1&0\\2&4&6&0&0&1\end{array}\right]\),

luego, intentemos aplicar la reducción gaussiana, para ver a qué nos lleva esto.

\(NR_{2}=(-7)R_{1}+R_{2}\rightarrow\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\0&-6&-12&-7&1&0\\2&4&6&0&0&1\end{array}\right]\),

\(NR_{3}=(-2)R_{1}+R_{3}\rightarrow\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\0&-6&-12&-7&1&0\\0&0&0&-2&0&1\end{array}\right]\),

aquí podemos darnos cuenta de que algo no anda bien, ya que hay un renglón que tiene solo ceros del lado izquierdo de la recta vertical, pero sigamos para ver hasta donde llegamos.

\(NR_{2}=(-\frac{1}{6})R_{2}\rightarrow\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\0&1&2&\frac{7}{6}&-\frac{1}{6}&0\\0&0&0&-2&0&1\end{array}\right]\),

\(NR_{1}=(-2)R_{2}+R_{1}\rightarrow\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&-1&-\frac{1}{6}&\frac{2}{3}&0\\0&1&2&\frac{7}{6}&-\frac{1}{6}&0\\0&0&0&-2&0&1\end{array}\right]\),

en este punto vemos que será imposible hacer los dos ceros requeridos en las entradas \(a_{23}\) y \(a_{13}\), por lo que no podemos continuar y entonces podemos concluir que la matriz \(A\) no tiene inversa.

\(\spadesuit\)

Consideremos un ejemplo práctico en el que nos será de utilidad saber obtener la inversa de una matriz.

Ejemplo. Supongamos que tenemos las matrices \(A=\left[\begin{array}{cc|cc}5&4\\3&8\end{array}\right]\) y la matriz \(B=\left[\begin{array}{ccc|ccc}4&0&-2\\1&-3&-1\end{array}\right]\). Determina si existe una matriz \(X=\left[\begin{array}{c|c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right]\) que satisfaga la siguiente relación:

\(AX+B=3X\).

Solución:

Una ecuación planteada así es conocida con el nombre de ecuación matricial. Para determinar una solución podemos, de cierta forma, tratar de actuar como si se tratará de una ecuación. Sin embargo, es importante tener en consideración que las matrices tienen características propias que no podemos dejar de lado. Veamos:

Puesto que \(B\in M_{2}(\mathbb{F})\) existe \(-B\) de tal manera que podemos realizar lo siguiente:

\((AX+B)+(-B)=3X+(-B)\), luego \(AX+[B+(-B)]=3X+(-B)\) y de esta manera tenemos que:

\(AX+O=3X+(-B)\), (donde \(O\) es la matriz de ceros de 2x2, no lo olvides), luego:

\(AX=3X+(-B)\), de aquí vemos que: \(AX+(-3X)=[3X+(-3X)]+(-B)\) y así obtenemos que:

\(AX+(-3X)=O+(-B)\), (en este caso \(O\) es la matriz de ceros de 3x1, piénsalo bien) y así llegamos a que:

\(AX-3X=-B\).

Puesto que \((\alpha A)=(\alpha) A\) para cualquier \(\alpha\in \mathbb(F)\), entonces obtenemos que:

\(AX-3X=AX+(-3I)X=(A-3I)X=-B\) 

(Observa que no habría tenido sentido escribir: \((A-3)X=-B\) ya que dentro del paréntesis estaríamos sumando una matriz de 2x2 con un escalar, lo cual es un absurdo pues son objetos de distinta naturaleza, uno es una matriz y otro un número, es por esta razón que agregamos I, la matriz identidad de 2x2). Ahora bien, tenemos entonces que:

\((A-3I)X=-B\), ya sólo queda multiplicar, esta ecuación matricial, por la inversa de \(A-3I\) para despejar \(X\), sin embargo, nota que esto es posible, es decir, el sistema tiene solución si y sólo si la matriz \(A-3I\) tiene inversa, es decir, es invertible. De aquí podemos derivar dos caminos.

Si \(A-3I\) es invertible entonces la solución del sistema matricial es:

\(X=(A-3I)^{-1}(-B)\), si \(A-3I\) no es invertible, entonces la ecuación matricial no tiene solución.

En este caso \(A-3I=\left[\begin{array}{cc|cc}2&4\\3&5\end{array}\right]\), 

realizando reducción gaussiana o cualquier otro método para determinar la inversa, obtenemos que:

\((A-3I)^{-1}=\left[\begin{array}{cc|cc}-\frac{5}{2}&2\\ \frac{3}{2}&-1\end{array}\right]\).

Como al realizar la reducción gaussiana no se obtuvieron problemas entonces es un argumento válido para decir que si existe su inversa. Más adelante veremos que habrá maneras más elegantes para determinar cuando una matriz no tiene inversa o no es invertible.

Multiplicando por la inversa por ambos lados obtenemos que:

\(X=(A-3I)^{-1}(-B)=\left[\begin{array}{cc|cc}-\frac{5}{2}&2\\ \frac{3}{2}&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc|ccc}-4&0&2\\-1&3&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc|ccc}8&6&-3\\-5&-3&2\end{array}\right]\), luego:

\(X=\left[\begin{array}{ccc|ccc}8&6&-3\\-5&-3&2\end{array}\right]\) es la matriz que satisface la ecuación matricial propuesta. Es importante hacer notar que uno(a) podría haber pensado rápidamente en descubrir si la matriz \(A-3I)\) tenía o no inversa desde mucho antes, sin embargo, en este blog se intenta dar detalles lo mejor posible para la comprensión del tema.

\(\spadesuit\)

En la siguiente sección nos enfocaremos un poco más algo referente a sistemas matriciales y también veremos algo un tanto más teórico. Con la base de ideas y conceptos, que ya tenemos, podemos tratar el concepto de transformación lineal desde un punto de vista matricial, esto con la finalidad de irnos dando una idea sobre transformaciones lineales y no sólo poner la definición "tan despiadadamente" (y ya empezar a trabajar con ella) sin tener algún contexto previo que nos permita una mejor comprensión del tema.

\(\clubsuit\)

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6. Inversa de una matriz, matrices elementales

Continuando con el comentario final de la entrada anterior veremos lo referente a la inversa de una matriz.

Definición. Si \(A\in M_{n\times n}(F)\), diremos que \(B\in M_{n\times n}(F)\) es la inversa de \(A\) si:

\(AB=I_{n}=BA\).

Tal matriz \(B\) suele representarse por \(A^{-1}\).

En primer lugar para poder pensar en que una matriz tenga una inversa, debemos de tener en cuenta que debe tratarse de una matriz cuadrada, sin embargo no toda matriz cuadrada tendrá inversa. En todo caso, si una matriz tiene una inversa, ésta será única. En realidad es sencillo darse cuenta de esto, veamos (antes de ejemplos).

Consideremos \(A\in M_{n\times n}(F)\) y supongamos que tiene una inversa \(B\in M_{n\times n}(F)\), entonces:

\(AB=I_{n}=BA\), 

por otra parte supongamos que \(C\in M_{n\times}(F)\) es otra inversa de \(A\), entonces:

\(AC=I_{n}=CA\), 

luego:

\(C=CI_{n}=CAB=I_{n}B=B\), 

por lo tanto: 

\(C=B\).

Luego, si una matriz tiene una inversa esta será única y del mismo orden que la matriz original.

Definición. Si \(A\in M_{n\times n}(F)\), diremos que \(A\) no es singular si existe \(A^{-1}\in M_{n\times n}\) la inversa de \(A\). En este caso también diremos que \(A\) es invertible.

En caso de que \(A\) no tenga inversa diremos que \(A\) es singular o que es no ivertible.

Teorema. Si \(A, B\in M_{n\times n}(F)\) invertibles (o no singulares) y \(\alpha\in F\) entonces:

a) \(A^{-1}\) (así como \(B^{-1}\)) es única.

b) (\(A^{-1})^{-1}=A\).

c) \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\).

d) (\(\alpha A)^{-1}=\frac{1}{\alpha}A^{-1}\), si \(\alpha\neq 0\).

Llegados a este punto mostraremos que al menos existen dos maneras de determinar la inversa de una matriz invertible, en caso de que la matriz en cuestión lo sea.

Ejemplo. Considera la matriz \(A=\left[\begin{array}{cc}-2&0\\0&0\end{array}\right]\) y supongamos que deseamos determinar si \(A\) es invertible, para eso tenemos que comprobar si, en efecto, \(A\) tiene inversa. Veamos:

Para la matriz \(A\), una matriz \(B\) tal que \(AB=I_{2}=BA\) debe cumplir que:

\(AB=I_{2}\) y \(BA=I_{2}\).

Si \(AB=I_{2}\) entonces:

\(\left[\begin{array}{cc}-2&0\\0&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]\),

de esto obtenemos que:

\(\left[\begin{array}{cc}-2b_{11}&-2b_{12}\\0&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]\),

luego para que se de la igualdad, entre estas matrices, deben de ser iguales entrada a entrada, pero de esto llegamos a que:

\(0=1\) lo cual es un absurdo, por lo tanto concluimos que \(A\) no tiene inversa \(\bullet\)

La otra manera de comprobar esto es por medio del siguiente procedimiento:

Consideramos la matriz ampliada como sigue:

\(\left[\begin{array}{cc|cc}-2&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right]\),

luego, debemos realizar operaciones de tal manera que en el primer renglón nos quede 1 en la entrada 1,1 y ceros en todas las demás, luego debemos hacer 1 en la entrada 2,2 y cero en todas las demás. Notamos que al realizar tales operaciones obtenemos:

\(\left[\begin{array}{cc|cc}1&0&-\frac{1}{2}&0\\0&0&0&1\end{array}\right]\),

puesto que en lado izquierdo nos quedo la matriz:

\(\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right]\), 

esto nos indica que la matriz \(A\) no tiene inversa pues no obtendremos la identidad al multiplicar \(A\) por la matriz:

\(\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}&0\\0&1\end{array}\right]\).

\(\spadesuit\)

Aquí pudimos ver al menos dos maneras de determinar la inversa de una matriz dada. El primer método podría volverse muy engorroso, el segundo método es más eficaz pero debemos ver más ideas para poderlo comprender mejor.

Calculo de matrices inversas por medio de operaciones elementales

Definición. Una matriz elemental es aquella que se obtiene aplicando a \(I_{n}\) una trasformación elemental, que son las siguientes:

\(\cdot\) Intercambio de renglones de \(I_{n}\).

\(\cdot\) Multiplicar un renglón de \(I_{n}\) por un número \(k\neq 0\).

\(\cdot\) Sumar a un renglón, de \(I_{n}\), el múltiplo, distinto de cero, de otro renglón de \(I_{n}\).

Ejemplo. Ya que \(I_{3}=\left[\begin{array}{cc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\). Las siguientes son matrices elementales:

\(\cdot\) Intercambiar la fila 1 por la fila 2 de \(I_{3}\).

\(\left[\begin{array}{cc}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{array}\right]\)

\(\cdot\) Multiplicar una fila, de \(I_{3}\), por un escalar no cero (en este caso por \(-2\)).

\(\left[\begin{array}{cc}-2&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\)

\(\cdot\) Sumar el múltiplo de una fila a otra, por ejemplo sumar 3 veces la fila 1, de \(I_{3}\), a la fila 2 de \(I_{3}\).

\(\cdot\) \(\left[\begin{array}{cc}1&0&0\\3&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\)

\(\spadesuit\)

En este punto hay algo interesante que conviene tener en cuenta. Cuando se realizan operaciones elementales en cualquier matriz, en realidad esto se relaciona con las matrices elementales, sólo que se maneja, comúnmente, como si sólo se realizarán operaciones y ya. Para comprender mejor esto veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo. Consideremos la matriz \(A=\left[\begin{array}{cc}2&-1&2&0\\3&-1&-2&-2\\1&0&0&0\end{array}\right]\), luego supongamos 

que queremos sumar menos un veces el segundo renglón con el primer renglón y al resultado ponerlo como nuevo renglón dos. Esto se puede hacer como sigue.

Tenemos que \(I_{3}=\left[\begin{array}{cc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\), por lo que la matriz elemental que hace lo que queremos se obtiene realizando la siguiente operación:

\(\cdot\) \(NR_{2}=R_{1}+(-1)R_{2}\) (que significa: nuevo renglón dos es igual al renglón uno más menos el renglón dos). Tal operación nos deja la matriz elemental:

\(E_{1}=\left[\begin{array}{cc}1&0&0\\1&-1&0\\0&0&1\end{array}\right]\),

luego para completar lo que queríamos, que en un principio era sumar menos una vez el segundo renglón con el primer renglón y poner esto como nuevo renglón dos, simplemente realizamos la multiplicación:

\(E_{1}A=\left[\begin{array}{cc}1&0&0\\1&-1&0\\0&0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2&-1&2&0\\3&-1&-2&-2\\1&0&0&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2&-1&2&0\\-1&0&4&2\\1&0&0&0\end{array}\right]\). 

En este punto terminamos, pero vemos que el proceso puede ser un poco engorroso. De hecho se acostumbra realizar directamente las operaciones sobre la matriz dada sin hacer referencia a que detrás de esto en realidad estamos multiplicando por matrices elementales tal como lo acabamos de hacer. Para comprobar que esto se puede hacer directamente, realicemos el mismo ejercicio pero haciendo las operaciones directamente sobre la matriz original sin considerar matrices elementales. Veamos:

\(A=\left[\begin{array}{cc}2&-1&2&0\\3&-1&-2&-2\\1&0&0&0\end{array}\right]\), luego:

\(R_{1}+(-1)R_{2}=\begin{array}{cccc}2&-1&2&0\\-3&1&2&2\\\hline -1&0&4&2\end{array}\), así que obtenemos la nueva matriz:

\(A'=\left[\begin{array}{cccc}2&-1&2&0\\-1&0&4&2\\1&0&0&0\end{array}\right]\), que es justo la misma matriz que habíamos obtenido anteriormente multiplicando por la matriz elemental \(E_{1}\). 

Nota que es mucho más práctico realizar la operación directamente a tener que utilizar matrices elementales para hacer lo mismo. Sin embargo es necesario saber de dónde sale la idea de este proceso. Considerar la definición y tomarla en cuenta para poder profundizar adecuadamente en nuestra teoría.

\(\spadesuit\)

En la práctica, para realizar operaciones elementales en cualquier matriz, se suele hacer sin el uso o referencia a las matrices elementales, es decir, se realizan las operaciones directamente sobre la(s) matriz(ces) dada(s), tal como vimos en la segunda parte del ejemplo anterior. Sin embargo el siguiente teorema destaca el proceso general.

Teorema. Si \(A\in M_{m\times n}(F)\), \(E_{1}\) la matriz que intercambia los renglones \(i\) y \(j\) de \(I_{m}\), \(E_{2}\) la matriz que se obtiene de multiplicar el renglón \(i\) por \(k\neq 0\) de \(I_{m}\), \(E_{3}\) la maatriz que se obtiene sumando al renglón \(j\) de la matriz \(I_{m}\) el renglón \(i\) multiplicado por \(k\neq 0\), entonces:

\(\cdot\) \(E_{1}A\) es la matriz en la que se intercabiaron los renglones \(i\) y \(j\) de la matriz \(A\).

\(\cdot\) \(E_{2}A\) es la matriz en la que se multiplicó el reglón \(i\) por la constante \(k\neq 0\).

\(\cdot\) \(E_{3}A\) es la matriz que se ha obtenido sumando el renglón \(j\) de la matriz \(A\) a el renglón \(i\) multiplicado por \(k\).

En el siguiente ejemplo veremos cómo utilizar matrices elementales para complementar lo que hemos comentado, pero debe tenerse en cuenta que en la práctica no se suelen utilizar, matrices elementales, para realizar operaciones sobre una matriz dada.

Ejemplo. Sea \(A=\left[\begin{array}{cccc}1&2&-1&3\\3&5&6&7\\0&1&4&-2\end{array}\right]\), luego si queremos que nuestro nuevo renglón dos sea el renglón uno multiplicado por -3 más el renglón 2, entonces tenemos que multiplicar, por la izquierda a la matriz \(A\), por la matriz elemental \(E_{1}\) como sigue:

\(E_{1}A=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\-3&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1&2&-1&3\\0&-1&9&-2\\0&1&4&-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1&2&-1&3\\0&-1&9&-2\\0&1&4&-2\end{array}\right]\). Nota que 

justo \(E_{1}\) es la matriz elemental que se obtiene, de \(I_{3}\), multiplicando por -3 el renglón uno, sumándolo al renglón dos y poniendo éste como el nuevo renglón dos. Es decir que justo la operación que le queremos realizar a la matriz original se la tenemos que hacer a la identidad correspodiente y luego multiplicar, por la izquierda, con esta matriz a la matriz original.

Si ahora queremos que nuestro nuevo renglón uno sea el renglón dos multiplicado por 2 más el renglón uno, entonces tenemos que multiplicar \(A\), a la izquierda, por la matriz \(E_{2}\) como sigue:

\(E_{2}A=\left[\begin{array}{ccc}1&2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1&2&-1&3\\0&-1&9&-2\\0&1&4&-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0&17&-1\\0&-1&9&-2\\0&0&13&-4\end{array}\right]\).

Si ahora queremos que nuestro nuevo renglón tres sea la suma del renglón dos más el renglón tres, entonces debemos multiplicar por \(E_{3}\) como sigue:

\(E_{3}A=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1&0&17&-1\\0&-1&9&-2\\0&1&4&-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1&0&17&-1\\0&-1&9&-2\\0&0&13&-9\end{array}\right]\).

Creo que en este punto ya te habrás percatado que justo las operaciones que se quieren realizar, se realizan primero en la identidad, correspondiente y luego se multiplica a la izquierda, la matriz original, para así obtener lo que se quiere. Nota que todas estas operaciones se pueden realizar directamente, como se mostró en el ejemplo anterior, previo al teorema que vimos sobre operaciones elementales. Realicé este ejemplo para dejar más claro las operaciones elementales a las que he hecho referencia.

\(\spadesuit\)

En adelante realizaremos las operaciones directamente sobre las matrices que veamos, sin embargo no dejes de lado que en el fondo se encuentra este proceso de multiplicar por matrices elementales.

Veremos lo referente a encontrar la inversa de una matriz cuadrada (pues sólo para éstas es que está definida la inversa) utilizando el proceso de reducción gaussiana que veremos más a detalle.

\(\clubsuit\)

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5.2. Multiplicación de matrices.

Multiplicación de matrices 

En general si \(A\) y \(B\) son dos matrices entonces su producto \(A\cdot B\) estará bien determinado si:

El número de columnas de, la primer matriz a multiplicar A, coincide con el número de renglones de la segunda matriz a multiplicar, es decir B. 

El elemento que se encuentra en la posición correspondiente al renglón i y la columna j, de la matriz producto \(A\cdot B\), se obtiene sumando los productos de los elementos del renglón i de la matriz de la matriz \(A\) por sus elementos correspondientes en la columna j de la matriz \(B\).

Si \(A=\left[\begin{array}{cc}a_11&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots\\a_{i1}&a_{i2}&\cdots &a_{in}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{array}\right]\) y \(B=\left[\begin{array}{cc}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1j}&\cdots &b_{1ñ}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2j}&\cdots &b_{2ñ}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots\\b_{n1}&b_{n2}&\cdots &b_{nj}&\cdots &b_{nñ}\end{array}\right]\).

De tal manera que \(A\) tiene dimensión de \(m\times n\) y \(B\) tiene dimensiones de \(n\times ñ\) entonces el elemento que se encuentra en el renglón i y la columna j, de la matriz \(A\cdot B\), es:

\(p_{ij}=a_{i1}b_{ij}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{in}b_{nj}\)

lo que podemos expresar mediante la notación de suma como:

\(p_{ij}=\Sigma_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}\)

como ya lo habíamos visto.

Algo que vale la pena destacar es que la multiplicación de matrices, en general, no conmuta. Es decir, no puede establecerse que para cualesquiera dos matrices \(A\) y \(B\) se tenga que:

\(A\cdot B=B\cdot A\).

Luego también teniendo en cuenta que \(A\cdot B\) y \(B\cdot A\) son dos matrices diferentes, entonces, en muchas ocaciones, la multiplicación puede realizarse en un sentido, por ejemplo \(A\cdot B\), pero no en el otro, es decir \(B\cdot A\). En otros casos la multiplicación puede realizarse en los dos sentidos pero los resultados pueden ser diferentes o iguales dependiendo de las matrices que se estén tratando.

Si dos matrices \(A\) y \(B\) son tales que \(A\cdot B=B\cdot A\) se dice que son permutables o que conmutan.

Por ejemplo para las matrices \(A=\left[\begin{array}{cc}0&-1\\3&-1\end{array}\right]\) y \(B=\left[\begin{array}1&2\\3&4\end{array}\right]\) se tiene que:

\(AB=\left[\begin{array}{cc}-3&-4\\0&2\end{array}\right]\) y \(BA=\left[\begin{array}{cc}6&-3\\12&-7\end{array}\right]\). Por lo que \(A\) y \(B\) no son permutables. Por otra parte si \(A=\left[\begin{array}{cc}0&-1\\3&-1\end{array}\right]\) y \(C=\left[\begin{array}{cc}-3&1\\-3&-2\end{array}\right]\). Se tiene que:

\(AC=\left[\begin{array}{cc}3&2\\-6&5\end{array}\right]\) y \(CA=\left[\begin{array}{cc}3&2\\-6&5\end{array}\right]\).

De aquí vemos que \(A\) y \(C\) conmutan o son permutables, en general la multiplicación de matrices no conmuta. Veremos algunas propiedades importantes para el producto.

Teorema. Si \(A\in M_{m\times n}(F)\), \(B\in M_{n\times ñ}(F)\) y \(C\in M_{ñ\times l}(F)\), respectivamente, entonces:

\(A(BC)=(AB)C\).

Trabajemos un ejemplo para familiarizarnos con este resultado.

Ejemplo. Si \(A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\-1&0\end{array}\right]\), \(B=\left[\begin{array}{cc}-1&2&1\\3&1&0\end{array}\right]\) y \(C=\left[\begin{array}{cc}1&0\\-2&1\\3&-2\end{array}\right]\), obten los productos \(A(BC)\) y \((AB)C\).

Solución:

Se tiene que:

\(BC=\left[\begin{array}{cc}-1&2&1\\3&1&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1&0\\-2&1\\3&-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-2&0\\1&1\end{array}\right]\), por lo tanto:

\(A(BC)=\left[\begin{array}{cc}3&2\\-1&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-2&0\\1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-4&2\\2&0\end{array}\right]\).

Por otro lado se tiene que:

\(AB=\left[\begin{array}{cc}3&2\\-1&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-1&2&1\\3&1&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3&8&3\\1&-2&-1\end{array}\right]\), 

luego:

\((AB)C=\left[\begin{array}{cc}3&8&3\\1&-2&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1&0\\-2&1\\3&-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-4&2\\2&0\end{array}\right]\),

por lo tanto:

\(A(BC)=(AB)C\).

\(\spadesuit\)

El siguiente resultado, que tiene que ver con multiplicación de matrices, nos da la idea de una distributividad, siempre y cuando tenga sentido la multiplicación. Se muestra sin demostración, porque, como ya se mencionó, la idea es que este material sea más de tipo práctico. Para comprobarlo, numéricamente, basta considerar cualesquier matrices que cumplan con las hipótesis que menciona el teorema.

Teorema. Si \(A, D, E\in M_{m,n}(F)\) y \(B, C, F\in M_{n,l}(F)\), entonces:

a) \(A(B+C)=AB+BC\)

b) \((D+E)F=DF+EF\)

Por útlimo, pero no menos importante, consideraremos el concepto de matriz identidad.

La matriz identidad es una matriz cuadrada de orden n de tal manera que tiene la forma:

\(\left[\begin{array}{cc}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\ \cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot\\0&0&0&\cdots &1\end{array}\right]\)

Esta matriz sólo está coformada por unos y ceros. En la diagonal todas sus entradas son uno y fuera de la diagonal todas sus entradas con cero. Con esto en mente podemos dar la siguiente:

Definición. Denotaremos por \(I_{n}\) a la matriz cuadrada de n \(\times\) n, definida como sigue:

\(I_{n}=[\delta_{ij}]\), tal que:

\(\delta_{ij}=1\), si \(i=j\)

y 

\(\delta_{ij}=0\), si \(i\neq j\).

A \(\delta_{ij}\) se le conoce como delta de Kronecker.

La matriz identidad es el elemento identidad para la multiplicación.

Ejemplo. Considera la matriz \(A=\left[\begin{array}{cc}3&-1&0\\2&-2&3\\1&-1&-1\end{array}\right]\) y para este caso, la matriz \(I_{3}=\left[\begin{array}{cc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\). 

Podemos ver que:

\(I_{3}A=\left[\begin{array}{cc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3&-1&0\\2&-2&3\\1&-1&-1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3&-1&0\\2&-2&3\\1&-1&-1\end{array}\right]\) y

\(AI_{3}=\left[\begin{array}{cc}3&-1&0\\2&-2&3\\1&-1&-1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3&-1&0\\2&-2&3\\1&-1&-1\end{array}\right]\), luego:

\(I_{3}A=AI_{3}=A\).

\(\spadesuit\)

Ejemplo. Consideremos la matriz \(A=\left[\begin{array}{cc}-3&1\\2&-4\\5&0\end{array}\right]\), entonces:

\(I_{3}A=\left[\begin{array}{cc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-3&1\\2&-4\\5&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-3&1\\2&-4\\5&0\end{array}\right]\) y por otra parte:

\(AI_{2}=\left[\begin{array}{cc}-3&1\\2&-4\\5&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-3&1\\2&-4\\5&0\end{array}\right]\).

Notemos que la matriz \(A\) no es una matriz cuadrada, sino una matriz rectangular, entonces para que la multiplicación, por la identidad, tuviera sentido, debimos multiplicar por \(I_{3}\) en un caso y por \(I_{2}\) en el otro caso.

\(\spadesuit\)

En esta parte vale hace hincapie en el hecho de que en el primer ejemplo, de multiplicación por la identidad, multiplicamos por \(I_{3}\) en ambos casos pues se trato de una matriz cuadrada, en el segundo caso multiplicamos por \(I_{3}\) y por \(I_{2}\) para que tuviera sentido la multiplicación. Es necesario ir teniendo en cuenta estos detalles pues por ejemplo, más adelante, consideraremos la inversa de una matriz pero notaremos que esto sólo tiene sentido en el caso de las matrices cuadradas. En el caso de las matrices rectangulares no, para tener claras las ideas sólo basta pensar en lo que comentamos de la identidad y la multiplicación por un lado y por otro lado

\(\clubsuit\).

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5.1. El espacio de matrices, operaciones con matrices

Operaciones con matrices

Para poder hablar del espacio de matrices, visto como espacio vectorial, tenemos que determinar ciertas operaciones, básicas, con matrices, como la suma y el producto por escalar. Sin embargo, aunque la multiplicación de matrices no nos será de utilidad en este caso, también convendrá mostrarla.

Comenzaremos trabajando con la suma o adición de matrices, ésta es la operación más sencilla. Esta operación puede efectuarse cuando las matrices son del mismo tamaño u orden. El resultado se obtiene sumando los elementos correspondientes de ambas matrices. Veamos.

Definición. Si \(A, B\in M_{m\times n}(F)\), entonces la suma de A y B está definida por la matriz C, \([c_{ij}]\), dada por:

\(c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\) para todo \(i\in \lbrace 1, 2, ..., m\rbrace\) y para todo \(j\in \lbrace 1, 2, ..., n\rbrace\).

Ejemplo. Consideremos \(A, B\in M_{3, 2}(\mathbb{R})\), y \(C\in M_{2, 3}(\mathbb{C})\) tal que \(A=\begin{equation}\left[ \begin{array}{cc}  2 & -1  \\ -3 & 5 \\ 0 & -2\end{array}\right ]\end{equation} \) y \(B=\begin{equation}\left[ \begin{array}{cc}  -1 & -1 \\ -4 & 0 \\ 3 &-1\end{array}\right]\end{equation}\),\(C=\left[\begin{array}{cc}-1&5&2i\\7+i&0&3\end{array}\right]\), determina \(A+B\), \(A+C\) y \(B+C\).

Solución:

La suma de \(A\) con \(B\) si es posible hacerla ya que ambas están definidas en el mismo campo y tienen el mismo tamaño.

\(A+B=\begin{equation}\left[ \begin{array}{cc}  2 & -1  \\ -3 & 5 \\ 0 & -2 \end{array}\right ]\end{equation} \) + \(\begin{equation}\left[ \begin{array}{cc}  -1 & -1   \\ -4 & 0 \\ 3 &-1 \end{array}\right ]\end{equation}=\left[\begin{array}{cc} 1&-2\\-7&5\\3&-3\end{array}\right]\).

Notamos que la suma se realiza entrada a entrada y debido a que ni siquiera tienen el mismo tamaño, ni están definidas en el mismo campo, la suma \(A+C\) no se puede realizar, no está definida, no existe. Análogamente \(B+C\).

\(\spadesuit\)

De este sencillo ejemplo podemos ver y nos debe quedar claro que solamente podemos sumar matrices que tengan el mismo tamaño y que sus entradas estén el mismo campo. Sin embargo en algunos textos se puede definir la suma entre matrices que tengan el mismo tamaño pero cuyas entradas se encuentren en diferentes campos siempre y cuando un campo esté contenido en el otro, como ocurre con los reales y los complejos. En este texto sólo consideraremos que la suma tiene sentido si las matrices implicadas tienen el mismo tamaño y están definidas en el mismo campo.

Multiplicación por escalar

Multiplicar una matriz, por un escalar, viene a ser algo análogo a lo que hacíamos con los vectores en el plano cartesiano. es decir, debemos multiplicar entrada a entrada.

Definición. Si \(A\in M_{m\times n}(F)\) y \(\alpha\in F\), entonces definimos el producto de \(\alpha\) por \(A\) como:

\(\alpha A=\alpha[a_{ij}]=[\alpha a_{ij}]\) para toda \(i\in \lbrace 1, 2, ..., m\rbrace\) y toda \(j\in \lbrace 1, 2, ..., n\rbrace\).

Ejemplo. Si \(A\in M_{2\times 4}(\mathbb{C})\), tal que \(A=\left[\begin{array}{cc} -1&-i&2i&5\\ 3&0&-4i&\sqrt{2}\end{array}\right]\) y \(3i\in \mathbb{C}\), determina \(3iA\).

Solución:

Se tiene que \(3i A=3i\left[\begin{array}{cc}-1&-i&-2i&5\\3&0&-4i&\sqrt{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} -3i&3&6&15i\\9i&0&12&3i\sqrt{2}\end{array}\right]\).

Vemos que la multiplicación por escalar se realiza entrada a entrada. En realidad es un algoritmo muy sencillo.

\(\spadesuit\)

Multiplicación entre matrices

Para determinar el producto, de matrices, requeriremos un poco más de cuidado pero en realidad también es un algoritmo sencillo entre matrices, por lo mismo, en muchas ocasiones un@ tiende a ser descuidado en las cuentas y puede llevar a errores de cálculo, sin embargo, la idea, es sencilla una vez que un@ la entiende. 

Definición. Si \(A\in M_{l\times m}(F)\) y \(B\in M_{m\times n}(F)\), entonces el producto de \(A\) por \(B\), es la matriz \(A\cdot B\) (o \(AB\) simplemente) de \(l\times n\), definido por:

\([p_{ij}]\) donde \(p_{ij}=\Sigma_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}\) con \(i\in \lbrace 1, 2, ..., m\rbrace\) y \(j\in \lbrace 1, 2, ..., \rbrace\).

Ejemplo. Considera \(A\in M_{4\times 3}(\mathbb{R})\) y \(B\in M_{3\times 2}(\mathbb{R})\), tales que: \(A=\left[\begin{array}{cc}5&3&-1\\0&1&-3\\-2&0&1\\1&-1&3\end{array}\right]\) y \(B=\left[\begin{array}{cc}2&0\\-3&4\\-1&3\end{array}\right]\). Determina \(AB\) y \(BA\).

Solución:

Notamos que \(A\) es una matriz de \(4\times 3\) y \(B\) es una matriz de \(3\times 2\), entonces el número de columnas de \(A\) coincide con el número de renglones de \(B\) entonces es posible llevar a cabo el producto, nos debería de quedar, en este caso, una matriz de \(4\times 2\). Vamos a realizar el producto de dos maneras diferentes para que haya una mejor comprensión. Un producto lo haremos tal cual tomando las matrices y multiplicando entrada a entrada. El otro producto lo realizaremos mediante la fórmula dada en la definición. Veamos.

\(AB=\left[\begin{array}{cc}5&3&-1\\0&1&-3\\-2&0&1\\1&-1&3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2&0\\-3&4\\-1&3\end{array}\right]=\)

\(\left[\begin{array}{cc}(5)(2)+(3)(-3)+(-1)(-1)&(5)(0)+(3)(4)+(-1)(3)\\(0)(2)+(1)(-3)+(-3)(-1)&(0)(0)+(1)(4)+(-3)(3)\\(-2)(2)+(0)(-3)+(1)(-1)&(-2)(0)+(0)(4)+(1)(3)\\(1)(2)+(-1)(-3)+(3)(-1)&(1)(0)+(-1)(4)+(3)(3)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2&9\\0&-5\\-5&3\\2&5\end{array}\right]\).

Vemos que la multiplicación \(B\cdot A\) no se puede realizar, ya que carece de sentido, al tener que el número de columnas de \(B\) no corresponde con el número de renglones de \(A\).

Realizaremos, también, el producto \(A\cdot B\) considerando la fórmula dada en la definición. Veamos.

\(A\cdot B=[p_{ij}]\), donde: \(p_{ij}=\Sigma_{k=1}^{3}a_{ik}b_{kj}\)

\(p_{11}=\Sigma_{k=1}^{3}a_{1k}b_{k1}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}=5(2)+3(-3)-1(-1)=2\).

\(p_{12}=\Sigma_{k=1}^{3}a_{1k}b_{k2}=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32}=5(0)+3(4)-1(3)=9\).

\(p_{21}=\Sigma_{k=1}^{3}a_{2k}b_{k1}=a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31}=0(2)+1(-3)-3(-1)=0\).

\(p_{22}=\Sigma_{k=1}^{3}a_{2k}b_{k2}=a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32}=0(0)+1(4)-3(3)=-5\).

Todos los demás productos se realizan de manera similar, así que para ya no estar escribiendo la suma, pondremos únicamente el resultado.

\(p_{31}=-5\) 

\(p_{32}=3\)

\(p_{41}=2\)

\(p_{42}=5\) 

y entonces nos queda la matriz:

\(AB=\left[\begin{array}{cc}2&9\\0&-5\\-5&3\\2&5\end{array}\right]\). 

Que es exactamente la misma que habíamos obtenido mediante el cálculo directo.

\(\spadesuit\)

Ya estudiamos la suma de matrices, el producto de un escalar por una matriz y el producto de matrices. Pero es mediante la operación de suma de matrices y producto, de escalar por matriz, que podremos determinar el espacio vectorial de las matrices.

Proposición. Si \(M_{m\times n}(F)\) es el conjunto de las matrices rectángulares de \(m\times n\), entonces éste conjunto junto con la suma de matrices y el producto de escalar por matriz, es un espacio vectorial sobre el campo \(F\).

Demostración:

Es claro que se cumple la cerradura bajo la suma de matrices, pues si \(A, B\in M_{m\times n}(F)\) entonces \(A+B\in M_{m\times n}(F)\) pues la suma está definida entrada a entrada por lo que el orden de las matrices no se altera.

1. Sean \(A, B\in M_{m\times n}(F)\), por lo que \(A+B\) es la matriz dada en forma reducida como:\([a_{ij}]+[b_{ij}]=[a_{ij}+b_{ij}]=[b_{ij}+a_{ij}]=[b_{ij}]+[a_{ij}]\), luego \(A+B=B+A\), en este caso la comuntatividad entrada a entrada se da porque las entradas se encuentran en el campo \(F\) y justo la conmutatividad es una propiedad que cumplen todos los elementos de \(F\).

2. Sean \(A, B, C\in M_{m\times n}(F)\), luego \((A+B)+C)\) es la matriz determinada, en forma reducida como:

\(([a_{ij}]+[b_{ij}])+[c_{ij}]=[(a_{ij}+b_{ij})+c_{ij}]=[a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij})]=[a_{ij}]+([b_{ij}+c_{ij}])\), de manera análoga, la propiedad de asociatividad se cumple en \(F\) y dado que las entradas de las matrices están en \(F\) entonces cumplen la asociatividad (nota que todo se reduce a aplicar las propiedades del campo entrada a entrada), luego:

\((A+B)+C=A+(B+C)\).

3. Si \(A\in M_{m\times n}(F)\) el neutro bajo la suma, en este caso, es la matriz \(O_{m,n}\), esta cumple que:

\(A+O_{m,n}=O_{m,n}+A\),

que es justo la propiedad de ser el neutro.

4. Si \(A\in M_{m\times n}(F)\) podemos considerar \(-1A\), sabemos que \(-1A\in M_{m \times n}(F)\) y \(A+(-1)A=(-1)A+A=O_{m,n}\) pues, en este caso, cada entrada de la matriz \(-1A\) es el inverso aditivo de cada entrada de la matriz \(A\).

5. Podemos notar, que si \(A\in M_{m\times n}(F)\) entonces \(1\cdot A=A\).

6. Si \(\alpha, \beta \in F\) y \(A\in M_{m\times n}(F)\) se tiene que:

\((\alpha\beta)A\) en realidad es la matriz:

\(\alpha\beta[a_{ij}]=\alpha(\beta[ a_{ij}])\), luego:

\((\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)\).

7. Si \(\alpha\in F\) y \(A, B\in M_{m\times n}(F)\) entonces \(\alpha(A+B)\) viene dada por la matriz:

\(\alpha([a_{ij}]+[b_{ij}])=\alpha[a_{ij}+b_{ij}]=[\alpha(a_{ij}+b_{ij})]=[\alpha a_{ij}+\alpha b_{ij}]=[\alpha a_{ij}]+[\alpha b_{ij}]=\alpha([a_{ij}])+\alpha([b_{ij}])\), luego

\(\alpha A+\alpha B\in M_{m\times n}(F)\).

8. Si \(\alpha, \beta\in F\) y \(A\in M_{m\times n}(F)\), entonces:

\((\alpha +\beta)[a_{ij}]=[(\alpha +\beta)a_{ij}]=[\alpha a_{ij}+\beta a_{ij}]=[\alpha a_{ij}]+[\beta a_{ij}]=\alpha[a_ij]+\beta[a_{ij}]\), luego

\((\alpha +\beta)A=\alpha A+\beta A\).

De esta manera queda demostrado que las matrices junto con la suma de matrices y la multiplicación por escalar, conforman un espacio vectorial que podrías considerar como la cuádrupla:

\((M_{m\times n}, +, *, O_{m,n}, 1_{F})\).

\(\blacksquare\)

En la siguiente sección trabajaremos un poco más con el producto de matrices. En esta entrada sólo hemos mencionado como se define y algunas de sus propiedades. Algunas propiedaes de la suma las pudimos ver en la última demostración. Aunque para lograr una mejor claridad se pedirá demostrar, éstas, en la tarea voluntaria.

\(\clubsuit\)

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Tarea voluntaria

1. Demuestra que si \(A, B\in M_{m\times n}(F)\) y \(\alpha, \beta\in F\) entonces:

a) \(\alpha (A+B)=\alpha A+\alpha B\)

b) \((\alpha+\beta)A=\alpha A+\beta A\)

c) \(\alpha(\beta A)=(\alpha \beta) A\)

2. Para las siguientes matrices:

\(A=\left[\begin{array}{cc}5&-2&7\\0&3&a_{2 3}\\2&-1&-3\end{array}\right]\); \(B=\left[\begin{array}{cc}-1&2&-3\\-2&-1&0\\b_{3 1}&1&3\end{array}\right]\); \(C=\left[\begin{array}{cc}1&2&-1\\-3&0&c_{2 3}\\5&1&3\end{array}\right]\).

Determina los valores de \(a_{2 3}\), \(b_{3 1}\) y \(c_{2 3}\), que cumplen con la igualdad \(A+3B=2C\).

3. Considera las siguientes matrices:

\(A=\left[\begin{array}{cc}2i&1+i\\2&i\\-1&2-i\end{array}\right]\); \(B=\left[\begin{array}{cc}3&-1\\3i&i\\2&1-2i\end{array}\right]\); \(C=\left[\begin{array}{cc}i&2i\\2-i&1\\-1&3i\end{array}\right]\).

Calcula \(A+B\), \(A-B\), \(B-A\), \(2A-C\) y \(3B+2C\).

5.Matrices

En general una matriz es un arreglo rectangular de elementos de un campo \(F\) dispuestos en \(m\) renglones (filas) por \(n\) columnas, como se muestra:

 \(\begin{equation}\left[ \begin{array}{cc}  a_{11} & a_{12} &\cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\cdots & a_{2n}\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots\\ a_{m1} & a_{m2} &\cdots &a_{mn}   \end{array}\right ]\end{equation} \) ó \(\begin{equation}\left( \begin{array}{cc}  a_{11} & a_{12} &\cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &\cdots & a_{2n}\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots\\ a_{m1} & a_{m2} &\cdots &a_{mn}   \end{array}\right )\end{equation} \) 

Ya sea que se usen los paréntesis cuadrados o redondos. Tal vez se usen más los redondos para que no pudiera haber una posible confusión con el determinante que veremos más adelante. Sin embargo no tiene importancia, en sí, que se usen los paréntesis que se usen.

Denotamos por \(M_{m\times n}(F)\) al conjunto de todas la matrices de \(m\times n\) con entradas en un campo \(F\). En ocasiones se le suele llamar la entrada \((i, j)\) de la matriz. Para \(i\in \lbrace 1, 2, ..., m\rbrace\) se tiene que:

\(R_{i}=(a_{i1}, a_{i2}, ..., a_{in})\) es el \(i-ésimo\) renglón y para \(j\in \lbrace 1, 2, ..., n\rbrace\) se tiene que:

\(C_{j}= \begin{equation}\left[ \begin{array}{cc}  a_{1j}\\ a_{2j}\\ \cdots \\ a_{mj} \end{array}\right ]\end{equation} \) es la \(j-ésima\) columna.

Si \(m=n\) entonces denotamos por:

\(M_{n}(F)\)

al conjunto de las matrices de \(n\times n\), es decir, al conjunto de las matrices cuadradas de \(n\times n\).

Es común, al trabajar con matrices, utilizar la notación más compacta:

\([a_{ij}]\)

para hacer referencia a la matriz de m renglones por n columnas. De una vez conviene dar la definición de un concepto al que hicimos referencia en una entrada anterior, este la idea de transposición. Queda determinada en la siguiente definición.

Definición. Si \(A\in M_{m\times n}(F)\), \(A=[a_{ij}]\), es una matriz de m renglones por n columnas con entradas en un campo \(F\), definimos la transpuesta de \(A\), denotada por \(A^{t}\), como:

\([a_{ji}]\).

es decir, intercambiamos la entrada \(a_{ij}\) por la entrada \(a_{ji}\). Lo que nos da como resultado que intercambiemos renglones por columnas. 

Consideremos el siguiente ejemplo para que se aclare bien esta idea.

Ejemplo. Sea \(A\in M_{4\times 3}(\mathbb{R})\), donde:

  \(A=\begin{equation}\left[ \begin{array}{cc}  2 & -1 & 0  \\ -3 & 5 &\sqrt{2}\\ 3 &-1 & 1\\ 0 & -2 & 7\end{array}\right ]\end{equation} \), entonces: \(A^{t}=\begin{equation}\left[ \begin{array}{cc}  2 & -3 & 3 & 0 \\ -1 & 5 &-1 & -2\\ 0 &\sqrt{2} & 1 & 7\end{array}\right ]\end{equation} \).

\(\spadesuit\)

Otro ejemplo interesante, al  que después haremos referencia, es el siguiente.

Ejemplo. Si \(X\in F^{n}\) lo podemos considerar como un vector columna:

\(X=\begin{equation}\left[ \begin{array}{cc}  x_{11} \\ x_{21}\\ \vdots\\ x_{n1} \end{array}\right ]\end{equation} \), luego: \(X^{t}=\left[ x_{11}, x_{21}, ..., x_{n1}\right]\).

\(\spadesuit\)

Definición. Si \(A\in M_{m\times n}(F)\) y \(B\in M_{m\times n}(F)\), decimos que \(A=B\) si y sólo si:

\(a_{ij}=b_{ij}\) para todo \(i\in \lbrace 1, 2, ..., n\rbrace\) y para todo \(j\in \lbrace 1, 2, ..., m\rbrace\).

Ejemplo. Si \(A\in M_{4\times 3}(\mathbb{R})\) y \(B\in M_{4\times 3}(\mathbb{R})\), son tales que:

\(A=\begin{equation}\left[ \begin{array}{cc}  -7 & -1 & 0  \\ -3 & 5 &\sqrt{2}\\ 3 &-1 & 1\\ 0 & -2 & 7\end{array}\right ]\end{equation} \) y \(B=\begin{equation}\left[ \begin{array}{cc}  2 & -1 & 0  \\ -3 & 5 &\sqrt{2}\\ 3 &-1 & 1\\ 0 & -2 & 7\end{array}\right ]\end{equation} \). 

Entonces podemos concluir que \(A\neq B\), ya que a pesar de que casi tienen todas sus entradas iguales, la entrada (1, 1) no es igual en ambas matrices. Para que sean, consideradas iguales, deben de tener todas sus entradas iguales, estar definidas en el mismo campo y tener el mismo tamaño.

\(\spadesuit\)

Matrices especiales

Algunas matrices que vale la pena resaltar, por su importancia en la teoría, son, la matriz cero y la matriz identidad. Veamos.

Definición. \(O_{m,n}\in M_{m\times n}(F)\) denota a la matriz de ceros de \(m\times n\) y se define como:

\(a_{ij}=0\) para todo \(i\in \lbrace 1, 2, ..., m\rbrace\) y para todo \(j\in \lbrace 1, 2, ..., n\rbrace\).

En el caso de que \(m=n\) estamos hablando de la matriz cuadrada, de puros ceros, \(O_{n}\).

Definición. \(I_{n}\in M_{n}(F)\) denota a la matriz identidad de \(n\times n\) y se define como:

\(a_{ij}=1\) si \(i=j\) y \(a_{ij}=0\) si \(i\neq j\).

Algo que es muy importante tener en cuenta es que la matriz identidad es una matriz cuadrada, es decir, no tiene sentido hablar de matriz identidad, en el sentido que entenderemos por identidad de matrices, en matrices que no sean matrices cuadradas. Eso contrasta un poco con la matriz cero que definimos, pues es ese caso si podremos considerar la matriz cero de \(n\times m\).

Ejemplo. \(I_{4}\in M_{4}(F)\), \(O_{4,3}\in M_{4\times 3}(F)\) y \(O_{3}\in M_{3}(F)\) son las matrices dadas como sigue.

\(I_{4}=\begin{equation}\left[ \begin{array}{cc}  1 & 0 & 0 & 0  \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1&0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right ]\end{equation} \); \(O_{4, 3}=\begin{equation}\left[ \begin{array}{cc}  0 & 0 & 0  \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right ]\end{equation} \); \(O_{3}=\begin{equation}\left[ \begin{array}{cc}  0 & 0 & 0  \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right ]\end{equation} \).

\(\spadesuit\)

En las siguientes secciones trabajaremos con suma de matrices, multiplicación de matrices y demás propiedades sobre matrices. Veremos más tipos de matrices especiales entre otras cosas.

\(\clubsuit\)

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