Bien sabemos o puede que no nos sea complicado observar que la motivación para la definición de espacio vectorial está basada en las propiedades de suma y multiplicación escalar que vimos en \(F^{n}\). Formalizaremos ideas.
Definición. Si \(V\) es un conjunto, definimos, una suma \(+\) en \(V\), como una función:
\(+:V\times V\rightarrow V\)
de tal manera que \(+\) asigna el elemento \(u+v\in V\) para cada pareja \(u, v\in V\).
Definimos una multiplicación \(\cdot\) en \(V\) como una función:
\(\cdot:F\times V\rightarrow V\)
de tal manera que \(\cdot\) asigna el elemento \(\lambda\cdot v\in V\) (aunque escribiremos simplemente \(\lambda v\) ) para cada \(\lambda\in F\) y cada \(v\in V\).
En base a la definición que acabamos de dar podemos dar la de espacio vectorial.
Espacio Vectorial
Definición. Un espacio vectorial \(V\), sobre un campo \(F\), es un conjunto junto con una suma vectorial en \(V\) y una multiplicacion por escalar en \(V\) tal que dichas operaciones cumplen las siguientes propiedades.
Conmutatividad
Para todo \(u,v\in V\) \(u+v=v+u\).
Asociatividad
Para todo \(u, v, w\in V\) y para todo \(\alpha, \beta\in F\) \((u+v)+w=u+(v+w)\) y \((\alpha \beta)v=\alpha(\beta v)\).
Identidad aditiva
Para todo \(v\in V\) existe un elemento \(0_{V}\in V\) tal que \(v+0_{V}=0_{V}+v=v\).
Inverso aditivo
Para todo \(v\in V\) existe \(w\in V\) tal que \(v+w=0_{V}\).
Identidad multiplicativa
\(1v=v1=v\) para todo \(v\in V\).
Propiedades distributivas
Para todo \(u, v\in V\) y para todo \(\alpha, \beta\in F\) se tiene que:
\(\alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v\) y \((\alpha +\beta)v=\alpha v+\beta v\)
A los elementos de \(V\) se les llamará vectores no importando de los objetos matemáticos de que se trate. Pueden ser funciones, polinomios, matrices, etc. El nombre de vector adquirirá entonces mayor generalidad y no se usará solamente para los vectores que conocemos de la geometría analítica (o de la física por ejemplo). Siempre hay que tener en cuenta que la multiplicación por escalar depende del campo \(F\) considerado.
Un espacio vectorial sobre el campo \(\mathbb{R}\) en ocaciones se hace referencia, a él, diciendo que es un espacio vectorial real y un espacio vectorial sobre el campo \(\mathbb{C}\) en ocaciones se hace, referncia, a él, como espacio vectorial complejo.
Notemos que \(F^{n}\), junto con la suma y el producto habitual en \(F\) es un espacio vectorial sobre \(F\).
Ejemplo. Si \(A\) es un conjunto distitnto del vacío y \(F\) es un campo, entonces \(F^{A}\) (\(F^{A}\) representa al conjunto de todas las funciones de A) junto con la suma y el producto, habitual de escalar por función, es un espacio vectorial. Veamos.
Conmutatividad
Si \(f, g\in F^{A}\) entonces \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x)\), la conmutatividad es válida porque \(f(x), g(x)\in F\).
Asociatividad
Si \(f, g, h\in F^{A}\) y \(\alpha, \beta\in F\) entonces:
\(((f+g)+h)(x)=(f+g)(x)+h(x)=f(x)+g(x)+h(x)=\)
\(f(x)+(g(x)+h(x))=f(x)+(g+h)(x)=(f+(g+h))(x)\) y
\(((\alpha\beta)f)(x)=(\alpha\beta)f(x)=\alpha\beta f(x)=\alpha(\beta f(x)\).
Identidad aditiva
Si \(f\in F^{A}\), tenemos que existe la función \(0_{F^{A}}:A\rightarrow F\) definida por:
\(0_{F^{A}}(x)=0\) para todo \(x\in A\). Luego:
.
\((f+0_{F^{A}})(x)=f(x)+0_{F^{A}}(x)=f(x)+0=f(x)\).
Inverso aditivo
Si \(f\in F^{A}\) podemos considerar la función \(-f:A\rightarrow F\) definida por:
\(((-f)(x)=-f(x)\)
para todo \(x\in A\), luego:
\((f+(-f))(x)=f(x)+(-f)(x)=f(x)-f(x)=0=0_{F^{A}}(x)\).
Identidad multiplicativa
Si \(f\in F^{A}\) entonces:
\((1f)(x)=1f(x)=f(x)\).
Propiedades distributivas
Si \(f, g\in F^{A}\) y \(\alpha,\beta\in F\) entonces:
\(((\alpha)(f+g))(x)=(\alpha)(f+g)(x)=(\alpha) (f(x)+g(x))=\alpha f(x)+\alpha g(x)=(\alpha f+\alpha g)(x)\)
y
\(((\alpha+\beta)(f))(x)=(\alpha+\beta)f(x)=\alpha f(x)+\beta f(x)=(\alpha f+\beta f)(x)\).
Entonces \(F^{A}\) junto con la suma de funciones y el producto por escalar es un espacio vectorial, es un buen ejemplo para comenzar.
\(\spadesuit\)
En un espacio vectorial se requiere que haya una identidad aditiva (bajo la suma vectorial) es un ejercicio sencillo comprobar que esta es única. Se deja como ejercicio al final de esta entrada.
Debido a el resultado que hemos mencionado es que se acostumbra denotar a el vector cero como \(0_{V}\), sin embargo en algunos textos no se tiene ese cuidado y se espera que el(la) estudiante reconozca éste mediante el contexto.
De manera similar se puede comprobar que el inverso aditivo también es único, análogamente se deja como ejercicio.
Debido a este resultado, es decir que los inversos son únicos, es que hace sentido que denotemos como:
\(-v\) al inverso aditivo de \(v\) y \(w-v\) se define como \(w+(-v)\).
Una proposición que aclara ciertos aspectos sobre el escalar cero y el vector cero, es la siguiente:
Proposición. Sea \(V_{F}\) entonces:
\(0v=0_{V}\).
Demostración:
Consideremos \(v\in V\) entonces:
\(0v=(0+0)v=0v+0v\), luego:
\(0v=0v+0v\), entonces:
\(0v+(-0v)=0v+(0v+(-0v))\), por lo tanto:
\(0_{V}=0v+(0_{V})\), de donde:
\(0_{V}=0v\).
\(\blacksquare\)
En el resultado que acabamos de ver, comprobamos que si se multiplica cualquier vector por el escalar cero entonces obtenemos el vector cero, sin embargo también podemos considerar qué pasa si multiplicamos cualquier escalar por el vector cero, es justo de lo que trata la siguiente proposición.
Proposición. Sea \(V_{F}\) y \(\alpha \in F\) entonces:
\(\alpha 0_{V}=0_{V}\).
Demostración:
Si \(\alpha\in F\) tenemos que:
\(\alpha 0_{V}=\alpha (0_{V}+0_{V})=\alpha 0_{V}+\alpha 0_{V}\), luego:
\(\alpha 0_{V}+(-a0_{V}=\alpha 0_{V}+\alpha 0_{V}+(-\alpha 0_{V})=\alpha 0_{V}\), entonces:
\(0_{V}=\alpha 0_{V}\).
Que es lo que queríamos.
\(\blacksquare\)
Por último podemos considerar el siguiente resultado.
Proposición. Sea \(V_{F}\), \(-1\in F\) y \(v\in V\), entonces:
\((-1)v=-v\).
Demostración:
Consideremos \(v\in V\), entonces:
\(v+(-1)v=1v+(-1)v=(1+(-1))v=0v=0_{V}\),
luego,
\(v+(-1)v=0_{V}\),
es decir que \((-1)v\) es inverso aditivo de \(v\), pero sabemos que el inverso aditivo, de un vector, es único según una proposición anterior, luego:
\((-1)v=-v\).
\(\blacksquare\)
\(\clubsuit\)
Ejericicios
1. Sea \(V_{F}\), demuestra que la identidad y el inverso en \(V\), bajo la suma vectorial, son únicos.
2. Considera a \(E\) un conjunto distinto del vacío y \(V_{F}\) un espacio vectorial sobre el campo \(F\). Toma a \(V^{E}\), determina una suma vectorial y una multiplicación por escalar luego demuestra que este conjunto junto con esa suma y producto, es un espacio vectorial.
3. Considera a \(V_{F}\) y \(F^{V}\) el conjunto de todas las funciones que van de el espacio vectorial al campo \(F\). Los elementos de este conjnto se llaman formas lineales de V. Demuestra que este conjunto junto con la suma habitual, que definimos para las funciones y el producto por escalar, es un espacio vectorial.
4. La complexificación de un espacio vectorial. Consideremos \(V_{F}\), denotaremos por \(V_{C}\) a la complexificación de \(V\). En este caso un elemento de \(V_{C}\) es un par ordenado \((u, v)\in V_{F}\times V_{F}\) y reescribiremos esto como \(u+vi\).
Definiremos la suma en \(V_{C}\) como:
\((u_{1}+iv_{1})+(u_{2}+iv_{2})=(u_{1}+u_{2})+i(v_{1}+v_{2})\)
con \(u_{1}, v_{1}, u_{2}, v_{2}\in V\).
Definiremos la multiplicación en \(V_{C}\) como:
\((a+bi)(c+di)=(ac-bd)+i(ad+bc)\)
con \(a, b\in \mathbb{R}\) y \(u, v\in V\).
Demuestra que, con estas definiciones, \(V_{C}\) es un espacio vectorial complejo.
5. Demuestra que si \(V\) es un espacio vectorial sobre un campo \(F\) y \(u, v, w\in V\) tales que:
\(u+w=v+w\) entonces \(u=v\).
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