6.2. La representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales. Matrices y transformaciones lineales.

 A menudo veremos que un sistema de de m ecuaciones lineales por n incógnitas puede representarse por la expresión:

\(AX=B\)

en donde \(A\) es una matriz de \(mxn\) que se conoce como matriz de coeficientes del sistema, \(X\) es una matriz de \(nx1\) conocida como vector de términos independientes.

Por ejemplo, si tenemos el sistema:

\(x_{1}-x_{2}+3x_{3}=2\)

\(-2x_{1}+x_{2}-2x_{3}=-1\)

\(x_{1}+x_{2}+2x_{3}=3\)

Podemos expresarlo como \(AX=B\) :

\(\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&3\\-2&1&-2\\1&1&2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c|c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c|c}2\\-1\\3\end{array}\right]\).

En este caso, si quisiéramos determinar la solución del sistema, entonces tendríamos que ver si existe \(A^{-1}\). Puesto que ya hemos visto cómo se determina la inversa, utilizando el método de reducción gaussiana, continuaremos con nuestra exposición, pues no es el objetivo volver a mostrar el procedimiento.

Si lográramos encontrar \(A^{-1}\) tendríamos que:

\(X=A^{-1}B\), donde \(X=\left[\begin{array}{c|c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right]\) y \(B=\left[\begin{array}{c|c}2\\-1\\3\end{array}\right]\).

Sin embargo, hay que tener en cuenta que existen diferencias entre el álgebra de números y el álgebra de matrices. Entonces es necesario tener cuidado al aplicar "cualquier despeje" pue sno se aplican las reglas usuales en el manejo de los números. Consideremos las siguientes diferencias:

\(\bullet\) La diferencia más importante consiste en que podemos sumar o multiplicar dos números cualesquiera, mientras que no siempre podemos hacerlo con las matrices, puesto que deben tener las mismas dimensiones para que se pueda efectuar la operación.

\(\bullet\) La multiplicación de números es conmutativa, mientras que la multiplicación de matrices no.

\(\bullet\) El producto de dos números diferentes de cero es diferente de cero, mientras que el producto de dos matrices diferentes de la matriz cero puede ser igual a la matriz cero.

\(\bullet\) La ley de cancelación para la multiplicación, en las matrices, es mucho más restringida que para los números reales. Podemos enunciar esta como sigue:

Si \(A\) es una matriz no singular (es decir, que sí tiene inversa), entonces:

 \(AB=AC\) implica que: \(B=C\)

Matrices y transformaciones lineales

En secciones anteriores ya trabajamos la idea de espacio vectorial. Para adentrarnos en el estudio de esta sección, solo nos hace falta el concepto de transformación lineal. Veamos:

Definición. Si \(V\) y \(W\) son espacios vectoriales sobre el campo \(F\), una transformación lineal T de \(V\) en \(W\), es una función:

\(T:V\rightarrow W\)

Tal que:

a) \(T(v_{1}+v_{2})=T(v_{1})+T(v_{2})\) para cualesquiera \(v_{1}, v_{2}\in V\) y

b) \(T(\alpha v)=\alpha T(v)\) para todo \(\alpha\in F\) y \(v\in V\).

Si además \(T\) es una función biyectiva, entonces decimos que \(V\) y \(W\) son isomorfos, esto lo denotamos como:

\(V\cong W\)

 En esencia, quiere decir que, aunque los dos espacios parezcan distintos, en el fondo son el mismo, dicho manera tosca.

En lo que sigue veremos que, al haber considerado los vectores siempre de manera vertical, tendremos una particular ventaja para realizar la teoría que nos atañe.

Ya habíamos comentado que, en general, este blog, sería para checar ejemplos más enfocados a lo práctico; sin embargo, en esta ocasión conviene desarrollar un poco más de teoría.

Definición. Si \(V\), \(W\) son espacios vectoriales sobre el campo \(F\), definimos a \(Hom(V, W)\) como el conjunto de todas las transformaciones de \(V\) en \(W\). Tal conjunto lo podemos expresar más detalladamente como:

\(Hom(V, W)=\lbrace T:V\rightarrow W\) | \(T\) es transformación lineal\(\rbrace\).

Si \(V=W\) entonces escribiremos simplemente \(Hom(V)\) (el conjunto de todas las transformaciones lineales de \(V\) en \(V\)).

*En algunos textos también se utiliza la notación: \(L(V, W)\) o \(L(V)\).

En la sección: 4.Dependencia e independencia lineal. Span tratamos, un poco el tema de dependencia e independencia lineal; cabe agregar que si un espacio vectorial \(V\), sobre un campo \(F\), tiene un subconjunto finito de \(n\) vectores que lo genera, entonces decimos que \(V\) es finito de dimensión \(n\), lo cual se denota, comúnmente como:

\(dim(V)=n\) o \(\vert V\vert=n\).

Ya vimos en la sección: 2.1. Espacios vectoriales: Definición e idea central, que el conjunto de todas las funciones de un conjunto en otro, junto con las operaciones habituales de suma de funciones y producto por escalar (número real en su caso), es un espacio vectorial, de igual manera en la sección: 5.1. El espacio de matrices: Operaciones con matrices, vimos que las matrices, junto con la suma de matrices y multiplicación por escalar, es un espacio vectorial; entonces, el siguiente resultado nos permitirá profundizar en las ideas que hemos comentado de una manera un tanto interesante, pues nos permitirá ver la relación que existe entre el espacio vectorial de las matrices y el espacio vectorial de las transformaciones lineales de un espacio vectorial en otro.

Teorema. Si \(V\) es un espacio vectorial